Физический смысл производной — ЕГЭ профиль

Суть темы

Задание 9 профильного ЕГЭ проверяет умение работать с производной. Одна из подтем — физический смысл: если какая-то величина меняется во времени, то её производная показывает, насколько быстро она меняется прямо сейчас.

Когда тело движется, его координата $s (t)$ (в школьных задачах часто пишут $x (t)$ ) зависит от времени. Чем круче ползёт вверх график $s (t),$ тем быстрее тело летит. Эта «крутизна» в конкретный момент — тангенс угла наклона касательной, то есть производная. Поэтому мгновенная скорость получается как $v (t) = s^{'} (t) .$

Этот принцип универсален. Если $f (t)$ — объём воды в бассейне, то $f^{'} (t)$ — скорость наполнения в литрах в секунду. Если $f (t)$ — масса тающего льда, то $f^{'} (t)$ — скорость таяния. Поэтому задача на физический смысл всегда сводится к одной операции: взять производную и подставить нужный момент $t .$

Основные формулы

Нужна одна физическая связка и несколько базовых правил дифференцирования. В первой части ЕГЭ закон движения всегда задаётся многочленом, поэтому таблица производных минимальная.

ВАЖНОЕ

Связь координаты, скорости и ускорения

Пусть $s (t)$ — координата (или пройденный путь) в момент времени $t .$ Тогда:

1. Мгновенная скорость $v (t)$ — первая производная координаты по времени:

v (t) = s^{'} (t)

2. Ускорение $a (t)$ — производная скорости, то есть вторая производная координаты:

a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)

ВАЖНОЕ

Общий физический смысл

Если функция $f (t)$ описывает любую величину, зависящую от времени (объём, масса, температура, заряд), то её производная $f^{'} (t)$ — это скорость изменения этой величины в заданный момент.

ВАЖНОЕ

Таблица производных

1. Производная константы равна нулю: $(C)^{'} = 0$
2. Производная самого $t :$ $(t)^{'} = 1$
3. Степенная функция: $(t^{n})^{'} = n \cdot t^{n - 1}$
4. Константу можно выносить: $(C \cdot f (t))^{'} = C \cdot f^{'} (t)$
5. Производная суммы/разности равна сумме/разности производных: $(f (t) \pm g (t))^{'} = f^{'} (t) \pm g^{'} (t)$

Алгоритм решения

Задача почти всегда решается в три простых действия. Вся «сложность» — аккуратно прочитать условие и не перепутать, что подставляется куда.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задач на физический смысл

1. Разбери условие. Выпиши закон $s (t)$ (или $V (t),$ или другая величина). Определи, что спрашивают: скорость в конкретный момент $t_{0},$ момент $t$ при заданной скорости, максимальную скорость на промежутке или ускорение.
2. Возьми производную. Продифференцируй функцию по $t$ слагаемое за слагаемым. Получится формула скорости $v (t) .$ Все свободные константы превращаются в ноль.
3. Выбери действие по вопросу.

Дано время $t_{0}$ — подставь в $v (t)$ и вычисли.
Дана скорость $v$ — приравняй $v (t)$ к этому числу и реши уравнение.
Нужен момент остановки — приравняй $v (t) = 0 .$
Нужна максимальная скорость — возьми производную от $v (t),$ то есть $a (t) = v^{'} (t),$ и приравняй её к нулю; проверь знаки, подставь подходящий $t$ обратно в $v (t) .$
Нужно ускорение — продифференцируй $v (t)$ ещё раз и подставь $t_{0} .$
4. Проверь. Время не может быть отрицательным. Ответ должен быть целым или конечной десятичной дробью. Единицы измерения в бланк не вписываются.

Примеры

Три прототипа, от базового к экзаменационному: скорость по заданному моменту времени, момент остановки ( $v = 0$ ) и максимальная скорость на промежутке (через исследование $v^{'} (t) = 0$ ).

ПРИМЕР 1

Скорость в заданный момент

Условие:
Материальная точка движется прямолинейно по закону $s (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 2 t^{2} + 8 t + 15,$ где $s$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах. Найди скорость точки (в м/с) в момент $t = 5$ с.

ПРИМЕР 2

Момент остановки: когда

v = 0

Условие:
Материальная точка движется прямолинейно по закону $s (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 4 t^{2} + 12 t + 7,$ где $s$ — в метрах, $t$ — в секундах. В какой момент времени (в секундах) точка остановилась в первый раз?

ПРИМЕР 3

Максимальная скорость на промежутке

Условие:
Материальная точка движется прямолинейно по закону $s (t) = - t^{3} + 9 t^{2} + 15 t + 4,$ где $s$ — в метрах, $t$ — в секундах. Найди наибольшее значение скорости точки (в м/с) за всё время движения.

Меняй a, b и c: вершина двигается; при a < 0 она задаёт максимум скорости, а при a > 0 — минимум

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Подстановка времени до взятия производной

Ошибка: В задаче просят скорость при $t = 3 .$ В исходную функцию $s (t)$ сразу подставляют тройку, получают число, а потом берут от этого числа производную — и пишут в ответе $0 .$

Правильно: сначала бери производную $s^{'} (t)$ — ты получишь выражение $v (t)$ с переменной $t .$ И только потом подставляй в это выражение нужное значение. Производная от уже подставленного числа всегда равна нулю.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между

s (t)

v (t)

Ошибка: В условии: «В какой момент времени скорость равна $5 ?$ ». Исходный закон $s (t)$ приравнивают к $5$ и решают уравнение для координаты.

Правильно: к числу приравнивается скорость, а не координата. Сначала найди $v (t) = s^{'} (t),$ и только эту функцию приравнивай к $5 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Максимум пути — это не максимум скорости

Ошибка: Ищут наибольшую скорость, но ошибочно приравнивают к нулю производную $s^{'} (t) = v (t) .$ Получают момент остановки, а не пик скорости.

Правильно: максимум скорости — это точка экстремума функции $v (t) .$ Чтобы найти его, нужно приравнять к нулю производную от $v (t),$ то есть ускорение $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) .$ Правило простое: для максимума $v$ дифференцируй дважды.

Что запомнить

$v (t) = s^{'} (t)$ — скорость есть производная координаты по времени.
$a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$ — ускорение есть производная скорости и вторая производная координаты.
Нужен момент остановки — приравнивай к нулю $v (t) .$
Нужна максимальная скорость — приравнивай к нулю $a (t) = v^{'} (t),$ потом подставляй найденный $t$ обратно в $v (t) .$
Константа в $s (t)$ при дифференцировании исчезает, она не влияет на скорость.
Ответ обязан быть неотрицательным временем или разумным числом в нужных единицах.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения

Ориентировочное время: 2-3 минуты. Одно из самых быстрых заданий первой части.
Приоритет: решай на первом проходе, не откладывай.
Страшные константы. Если в $s (t)$ болтается огромное число вроде $1500000,$ оно поставлено специально для психологического давления. При дифференцировании константа обнуляется — просто вычёркивай её.
Проверка знака времени. Если после уравнения получился $t < 0,$ значит, где-то потерян знак в производной. Время в задаче про движение не бывает отрицательным.
Проверка при поиске максимума. Если нашёл $t^{*}$ из условия $v^{'} (t) = 0,$ проверь, что это именно максимум: парабола $v (t)$ с отрицательным старшим коэффициентом — ветви вниз, значит, в вершине максимум. Для кубической $s (t)$ с $v (t)$ -параболой правило то же.

Проверь себя0 из 4

1.Тело движется по закону

s (t) .

Как найти его мгновенную скорость

v (t) ?

2.Точка движется по закону

s (t) = t^{2} + 3 t + 100 .

Чему равна её скорость при

t = 2 ?

3.В какой момент точка останавливается?

4.Как найти момент, когда скорость максимальна?