Физическая модель с данной формулой — ЕГЭ профиль

Физическая модель с данной формулой (Задание 17)

Законы Джоуля - Ленца, Ома и формулу высоты при броске помнить не надо: они приходят прямо в условии вместе с числами. Проверяют другое - умение увидеть в чужой формуле функцию одной переменной, отрезать по физическому смыслу лишние значения аргумента и найти экстремум с обоснованием. Физика поставляет сюжет, вся математика здесь - школьная производная.

Что означает «формула дана»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модель с данной формулой

В условии всегда есть три вещи: формула процесса с несколькими буквами ( $P = I^{2} R$ ), числа для всех букв, кроме одной ( $ε = 30,$ $r = 2,$ $g = 10$ ) и вопрос про наибольшее или наименьшее значение. Буква, для которой числа не дали, и есть переменная.

iЗАМЕЧАНИЕ

Первый ход - подставить числа

Решать «в буквах» заманчиво, но дорого: выкладки длиннее и ошибиться легче. Подставь числа в первой же строке - дальше перед тобой обычная числовая функция, ровно как в задании 9.

Четыре формы, к которым всё сводится

Сюжеты разные - цепь, бросок, струя, расход топлива, - а функций после подстановки чисел выходит всего четыре вида, и вид сразу подсказывает приём.

ВАЖНОЕ

Форма 1. Квадратичная

h (t) = h_{0} + v_{0} t - \frac{g t ^{2}}{2}

Производная не нужна: единственный экстремум параболы - вершина $t_{0} = - \frac{b}{2 a} .$ При $a < 0$ ветви вниз и в вершине наибольшее значение. Ссылка на направление ветвей - полноценное обоснование.

ВАЖНОЕ

Форма 2. Дробь с квадратом в знаменателе

P (R) = \frac{ε ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}, P^{'} (R) = \frac{ε ^{2} ( r - R )}{( R + r ) ^{3}}

Производная частного, после которой обязательно выносят общий множитель. Знаменатель положителен, поэтому знак задаёт скобка $r - R :$ максимум при $R = r .$

ВАЖНОЕ

Форма 3. Произведение со скобкой в квадрате

P (u) = k (v - u)^{2} u, P^{'} (u) = k (v - u) (v - 3 u)

Дифференцируем произведение и выносим общую скобку. Корень $u = v$ - конец промежутка, где функция равна нулю; максимум в $u = \frac{v}{3} .$

ВАЖНОЕ

Форма 4. Сумма «обратное плюс степень»

Q (v) = \frac{a}{v} + b v^{2}, Q^{'} (v) = - \frac{a}{v ^{2}} + 2 b v

Появляется, когда величину делят «на километр» или «на изделие». Здесь ищут минимум: слева производная отрицательна, справа положительна.

Область определения приходит из физики

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Промежуток задаёт условие, а не формула

Формально $P (R) = \frac{900 R}{( R + 5 ) ^{2}}$ определена при всех $R \neq = - 5,$ но $R$ - сопротивление: исследуем только луч $R ⩾ 0 .$ Так же режется остальное: $0 ⩽ u ⩽ v$ у лопатки, $0 < v ⩽ 60$ у катера. Промежуток выписывают сразу после функции, иначе точка без физического смысла доедет до ответа.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу с данной формулой

1. Найди переменную - единственную букву без числа. Назови её словами и укажи единицы.
2. Подставь все числа и получи функцию одной переменной в явном виде.
3. Выпиши промежуток из физического смысла величины.
4. Опознай форму: квадратичная - вершина; дробь, произведение или сумма - производная.
5. Найди критические точки и оставь только попавшие в промежуток.
6. Обоснуй экстремум знаками производной слева и справа (или направлением ветвей). Без этого шага решение не оценивается.
7. Ответь на вопрос: спрашивают величину - подставь точку в функцию, спрашивают «при каком значении» - оставь точку. Единицы обязательны.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Мощность в цепи с длинными проводами

Условие:
Источник тока с ЭДС $ε = 30$ В и внутренним сопротивлением $r = 2$ Ом подключён к нагрузке длинными проводами, суммарное сопротивление которых $R_{0} = 3$ Ом. Сопротивление нагрузки $R$ (в омах) регулируется реостатом. Сила тока в цепи находится по закону Ома: $I = \frac{ε}{R + r + R _{0}},$ а мощность в нагрузке - по закону Джоуля - Ленца: $P = I^{2} R .$ Какова наибольшая мощность, которую можно выделить в нагрузке?

ПРИМЕР 2

Бросок вверх с балкона

Условие:
С балкона на высоте $h_{0} = 3$ м над землёй вертикально вверх бросают мяч со скоростью $v_{0} = 30$ м/с. Высота мяча (в метрах) через $t$ секунд после броска задаётся формулой $h (t) = h_{0} + v_{0} t - \frac{g t ^{2}}{2},$ где $g = 10$ м/с $^{2} .$ На какую наибольшую высоту поднимется мяч?

Мяч летит вертикально, а график высоты - парабола

ПРИМЕР 3

Струя воды на лопатке турбины

Условие:
Струя воды сечением $S = 0, 002$ м $^{2},$ движущаяся со скоростью $v = 15$ м/с, бьёт по лопатке турбины, которая движется в направлении струи со скоростью $u$ м/с, где $0 ⩽ u ⩽ v .$ Передаваемая лопатке мощность (в ваттах) равна $P = 2 ρS (v - u)^{2} u,$ где $ρ = 1000$ кг/м $^{3}$ - плотность воды. Какова наибольшая мощность, которую струя может передать лопатке?

Струя, лопатка и график передаваемой мощности

ПРИМЕР 4

Экономичная скорость катера

Условие:
Расход топлива катера при равномерном движении со скоростью $v$ км/ч задаётся формулой $q (v) = 54 + 0, 001 v^{3}$ литров в час, где $0 < v ⩽ 60 .$ При какой скорости расход топлива на один километр пути будет наименьшим?

ПРИМЕР 5

Дальность струи из бака

Условие:
Открытый бак высотой $H = 1, 8$ м доверху наполнен водой. В боковой стенке на высоте $h$ метров от дна делают маленькое отверстие; струя, вылетая горизонтально, падает на пол на расстоянии $L (h) = 2 h (H - h)$ метров от стенки. На каком наибольшем расстоянии может упасть струя?

Бак с отверстиями, дальность струи и подкоренная парабола

Частые ошибки

✗НЕВЕРНО

«Чем больше сопротивление, тем больше тепла»

Условие примера 1: $P (R) = \frac{900 R}{( R + 5 ) ^{2}} .$
Неверное решение: мощность растёт вместе с $R,$ значит максимум - при самом большом сопротивлении.
Что не так: $R$ стоит и в числителе, и в знаменателе, причём знаменатель растёт быстрее: $P (1) = 25,$ $P (5) = 45,$ $P (20) = 28, 8 .$ Интуиция «больше сопротивление - больше нагрев» верна при постоянном токе, а здесь ток зависит от $R$ и падает.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Переменную выбрали не ту

Ошибка: в формуле $P = I^{2} R$ решить, что переменная - сила тока $I .$
Правильно: переменная - та величина, которую можно менять и для которой не дали числа. Реостатом крутят сопротивление, ток $I$ - следствие. Признак верного выбора: в функции остаётся одна буква.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Корень производной на границе приняли за максимум

Ошибка: в примере 3 получить корни $u = 5$ и $u = 15$ и взять больший.
Правильно: проверить знаки. При $u = 15$ скобка $(15 - u)$ обращается в ноль вместе со всей мощностью: $P (15) = 0,$ и это наименьшее значение.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответили переменной вместо величины

Ошибка: записать в ответ $R = 5$ Ом или $t = 3$ с, когда спрашивали мощность или высоту.
Правильно: перечитать последнее предложение условия. «Какова наибольшая мощность» - подставляем точку в функцию ( $45$ Вт). «При какой скорости» - оставляем точку ( $30$ км/ч).

КОРОТКО

Что запомнить

Формулу дают вместе с числами: учить физику не нужно, нужно опознать форму функции.
Переменная - единственная буква без числа; остальные подставляем в первой же строке.
Промежуток берётся из физики, а не из формулы.
Квадратичная - вершина $x_{0} = - \frac{b}{2 a};$ дробь и произведение - производная с вынесением общего множителя; «на единицу пути» - минимум суммы $\frac{a}{v} + b v^{2} .$
Корень над функцией точку экстремума не двигает: исследуй подкоренное выражение.
Обоснование знаками производной - обязательная часть решения, без него балл не ставят.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 15-20 минут, и больше половины уходит не на производную, а на запись модели.
Первая строка чистовика: «Пусть $R$ - сопротивление нагрузки в омах». Эксперт должен увидеть переменную сразу.
Проверка прикидкой: подставь два числа по обе стороны от точки. В примере 1: $P (4) \approx 44, 4$ и $P (6) \approx 44, 6$ - оба меньше $45,$ сходится.
Проверка порядком: мощность турбины - киловатты, скорость катера - десятки км/ч.
Единицы: $2000$ Вт и $2$ кВт - одно число, но записывают запрошенное.

Проверь себя0 из 4

1.В формуле

P = \frac{ε ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}

даны

ε = 20

r = 4 .

Что здесь переменная?

2.Высота задана формулой

h (t) = - 5 t^{2} + 40 t + 2 .

Как быстрее найти наибольшую высоту?

3.Мощность на лопатке

P (u) = 4 (12 - u)^{2} u

при

0 ⩽ u ⩽ 12 .

В какой точке максимум?

4.Дальность струи

L (h) = 2 h (1, 8 - h) .

Почему можно исследовать только выражение

h (1, 8 - h) ?