Дисперсия и стандартное отклонение — ЕГЭ профиль

Дисперсия и стандартное отклонение (Задание 6)

Математическое ожидание отвечает на вопрос «сколько получится в среднем», но молчит о том, что для практики не менее важно: насколько результат предсказуем. Две величины с одним и тем же средним ведут себя совершенно по-разному - одна почти всегда даёт результат рядом со средним, вторая скачет от края к краю. Меру этого разброса и спрашивают в задании 6: дисперсию $D (X)$ и стандартное отклонение $σ (X) .$

Сюжеты повторяются из варианта в вариант: число сбоев терминала за смену, число бракованных деталей у двух станков, отклонение массы буханки от номинала, время выполнения одной заявки. Таблица распределения почти всегда уже дана в условии, и вся работа сводится к аккуратному счёту по одной формуле.

Что именно измеряет дисперсия

Отклонение значения от среднего - это разность $x_{i} - E (X) .$ Просто усреднить такие разности нельзя: положительные и отрицательные гасят друг друга, и в сумме всегда получается ровно ноль, каким бы разбросанным ни было распределение. Поэтому отклонения возводят в квадрат: знак пропадает, а величина промаха остаётся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дисперсия

Дисперсия случайной величины $X$ - это математическое ожидание квадрата отклонения от среднего:

D (X) = (x_{1} - E (X))^{2} p_{1} + (x_{2} - E (X))^{2} p_{2} + \dots + (x_{n} - E (X))^{2} p_{n}

Каждый квадрат промаха входит со своим весом $p_{i}$ - вероятностью соответствующего значения. Крупный промах, который случается редко, и мелкий, который случается часто, могут дать одинаковый вклад.

Считать прямо по определению долго: сначала найти $E (X),$ потом вычесть его из каждого значения, каждую разность возвести в квадрат и только после этого умножать на вероятности. Есть равносильная запись, которая экономит половину арифметики и почти всегда используется на экзамене.

ВАЖНОЕ

Рабочая формула: среднее квадратов минус квадрат среднего

D (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

где

E (X) = x_{1} p_{1} + \dots + x_{n} p_{n}, E (X^{2}) = x_{1}^{2} p_{1} + \dots + x_{n}^{2} p_{n}

В $E (X^{2})$ в квадрат возводятся значения, а вероятности остаются прежними. Это главная точка сбоя всей темы: возводить в квадрат $p_{i}$ нельзя.

Дисперсия измеряется в квадратах исходных единиц. «Рубль в квадрате» или «грамм в квадрате» смысла не имеют, поэтому разброс чаще описывают вторым числом - корнем из дисперсии.

ВАЖНОЕ

Стандартное отклонение

σ (X) = D (X), D (X) = σ^{2} (X)

Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама величина: если $X$ - масса в граммах, то и $σ$ в граммах. Это «типичный промах» относительно среднего, и именно поэтому его удобно сравнивать с самим средним.

Алгоритм подсчёта

АЛГОРИТМ

Как посчитать

D (X)

σ (X)

по таблице

1. Проверь сумму вероятностей. Она обязана равняться $1 .$ Не сходится - в таблице потеряно значение или есть опечатка, считать дальше бессмысленно.
2. Посчитай $E (X) .$ Умножь каждое значение на его вероятность и сложи.
3. Посчитай $E (X^{2}) .$ Возведи в квадрат значения, вероятности оставь прежними, снова сложи.
4. Вычти. $D (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} .$ Порядок важен: из среднего квадратов вычитается квадрат среднего, а не наоборот.
5. Извлеки корень, если спрашивали $σ .$
6. Проверь правдоподобие. Всегда $D (X) ⩾ 0 .$ Кроме того, стандартное отклонение не может превысить половину размаха: если все значения лежат между $m$ и $M,$ то $σ ⩽ \frac{M - m}{2} .$

Счёт удобно вести таблицей в четыре столбца: значения, вероятности, произведения $x_{i} p_{i}$ и произведения $x_{i}^{2} p_{i} .$ Суммы двух последних столбцов - это ровно $E (X)$ и $E (X^{2}),$ а дальше остаётся одно вычитание.

Схема подсчёта дисперсии по таблице распределения

Для распределения из схемы получается $E (X) = 2, 1$ и $E (X^{2}) = 4, 9,$ значит $D (X) = 4, 9 - 2, 1^{2} = 4, 9 - 4, 41 = 0, 49,$ а $σ (X) = 0, 49 = 0, 7 .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему корень всегда извлекается точно

В первой части ответ - целое число или конечная десятичная дробь, поэтому составители подбирают числа так, чтобы под корнем оказался точный квадрат: $0, 49,$ $0, 81,$ $144 .$ Получилось $σ = 0, 5$ - это сигнал искать арифметическую ошибку в $E (X)$ или $E (X^{2}),$ а не тянуться к калькулятору.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Дисперсия по готовой таблице

Условие:
Кассовый терминал магазина за смену даёт $0,$ $1$ или $2$ сбоя. Случайная величина $X$ - число сбоев за смену:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0, 7$	$0, 2$	$0, 1$

Найдите дисперсию числа сбоев за смену.

ПРИМЕР 2

Две формулы дают одно и то же

Условие:
Время выполнения одной заявки мастером сервисного центра (в часах) - случайная величина $X :$

$X$	$1$	$2$	$4$
$P$	$0, 5$	$0, 3$	$0, 2$

Найдите дисперсию времени выполнения заявки.

ПРИМЕР 3

Стандартное отклонение симметричной величины

Условие:
Хлебозавод выпускает буханки номинальной массой $800$ граммов. Отклонение массы буханки от номинала (в граммах) - случайная величина $X :$

$X$	$- 20$	$0$	$20$
$P$	$0, 18$	$0, 64$	$0, 18$

Найдите стандартное отклонение величины $X .$ Ответ дайте в граммах.

Когда среднее равно нулю, вычитать нечего и дисперсия совпадает с $E (X^{2}) .$ На рисунке видно, что означает найденное $σ = 12 :$ это типичное отклонение массы от номинала, отложенное по той же оси и в тех же граммах, что и сами значения.

Симметричное распределение и стандартное отклонение

ПРИМЕР 4

Какой станок стабильнее

Условие:
Два станка за смену дают $0,$ $1$ или $2$ бракованные детали. Для первого станка это случайная величина $X,$ для второго - случайная величина $Y .$

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0, 5$	$0, 3$	$0, 2$

$Y$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0, 6$	$0, 1$	$0, 3$

Найдите разность $D (Y) - D (X) .$

Частые ошибки

✗НЕВЕРНО

Возвели в квадрат вероятности

Для таблицы из примера 1 пишут $E (X^{2}) = 0 \cdot 0, 49 + 1 \cdot 0, 04 + 2 \cdot 0, 01 = 0, 06$ и получают отрицательную «дисперсию» $0, 06 - 0, 16 = - 0, 1 .$

В квадрат возводится значение $x_{i},$ а вероятность $p_{i}$ остаётся как есть. Отрицательный результат - верный признак именно этой ошибки: настоящая дисперсия отрицательной не бывает никогда.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли вычесть квадрат среднего

Ошибка: посчитать $E (X^{2}) = 0, 6$ и записать это в бланк как дисперсию.
Правильно: $E (X^{2})$ - только первое из двух слагаемых. Формула $D (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ содержит вычитание, и без него ответ всегда завышен.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали порядок вычитания

Ошибка: записать $D (X) = (E (X))^{2} - E (X^{2})$ и получить $0, 16 - 0, 6 = - 0, 44 .$
Правильно: вычитается квадрат среднего из среднего квадратов. Мнемоника: сначала идёт «большое» слагаемое с квадратами значений, потом «маленькое» с квадратом среднего. Знак минус у результата - повод немедленно переписать формулу.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Выбросили нулевое значение из таблицы

Ошибка: решить, что значение $0$ «ничего не даёт», вычеркнуть его вместе с вероятностью $0, 7$ и считать по оставшимся двум столбцам.
Правильно: на $E (X)$ и $E (X^{2})$ нулевое значение действительно не влияет, но его вероятность влияет на всё остальное. Без неё сумма вероятностей станет $0, 3$ вместо $1,$ и распределение перестанет быть распределением. Строку оставляют в таблице, а нули просто не пишут в сумму.

✓СОВЕТ

Приёмы быстрого счёта

Не считай отклонения по одному. Формула $E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ короче определения примерно вдвое и не порождает трёхзначных десятичных дробей.
Считай в целых. Если все значения кратны $10$ или $100,$ вынеси множитель: у величины $10 X$ дисперсия ровно в $100$ раз больше, чем у $X .$ В примере 3 удобно считать по значениям $- 1,$ $0,$ $1,$ получить $D = 0, 36$ и умножить на $400 .$
Симметрия - подарок. Если значения симметричны относительно какой-то точки, а вероятности зеркальны, среднее равно этой точке. Считать $E (X)$ отдельно не нужно.
Сдвиг не меняет разброс. Прибавление одного и того же числа ко всем значениям на дисперсию не влияет. Значения $998,$ $1000,$ $1002$ можно заменить на $- 2,$ $0,$ $2$ - арифметика станет втрое короче, а ответ не изменится.
Держи $E (X)$ на виду. Его квадрат понадобится ещё раз: чаще всего дисперсию теряют не в формуле, а при переписывании среднего.

КОРОТКО

Что запомнить

$D (X)$ - средний квадрат отклонения от среднего, $σ (X) = D (X) .$
Рабочая формула: $D (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2};$ в $E (X^{2})$ в квадрат идут значения, а не вероятности.
Дисперсия - в квадратах единиц, стандартное отклонение - в тех же единицах, что и сама величина.
$D (X) ⩾ 0$ всегда; ноль означает, что величина постоянна. Отрицательный результат - ошибка в счёте.
Проверка сверху: $σ$ не больше половины размаха значений.
Одинаковое среднее ещё не значит одинаковое поведение: сравнить величины по стабильности можно только через $D$ или $σ .$

Проверь себя0 из 5

1.Величина

X

принимает значения

0

1

с вероятностями

0, 5

0, 5 .

Чему равна

D (X) ?

2.Известно, что

D (X) = 0, 64 .

Чему равно стандартное отклонение?

3.Величина всегда принимает одно и то же значение

7 .

Чему равна её дисперсия?

4.При счёте получилось

D (X) = - 0, 3 .

Что это означает?

5.Для величины со значениями

1,

2,

3

получилось

E (X) = 2

E (X^{2}) = 4, 5 .

Чему равна

D (X) ?