Числа и их свойства — ЕГЭ профиль

Суть темы: теория чисел в задании 20

Задание 20 почти полностью живёт в мире натуральных и целых чисел. В 94% задач требуется работать не с функциями, а со свойствами чисел: делимостью, остатками, чётностью, разложением на простые множители. Формул тут мало - важнее уметь ими пользоваться: увидеть, на что делится сумма цифр, подобрать остаток по модулю, разложить число в произведение.

Эта тема подготовит тебя к задачам "найти наибольшее $n,$ кратное $k,$ такое что...", "может ли сумма оканчиваться на...", "какое наименьшее количество чисел, делящихся на..." - то есть к ядру задания 20.

Ключевые факты и формулы

В задании 20 нужен арсенал свойств натуральных чисел. Следующие формулы и признаки - обязательны.

ВАЖНОЕ

Десятичная запись и делимость

Любое натуральное число $N$ разлагается по разрядам:

N = a_{k} \cdot 1 0^{k} + a_{k - 1} \cdot 1 0^{k - 1} + \dots + a_{1} \cdot 10 + a_{0}

где $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k}$ - цифры $N,$ причём $a_{k} \neq = 0 .$
Делимость $a$ на $b$ означает, что $a = b \cdot q$ для некоторого целого $q .$ Сокращённая запись: $b ∣ a$ (число $b$ делит $a$ ).

ВАЖНОЕ

Признаки делимости

Это рабочие инструменты задания 20. Запомни все шесть:

На 2: последняя цифра чётная ( $0, 2, 4, 6, 8$ ).
На 4: число из двух последних цифр делится на 4.
На 5: последняя цифра $0$ или $5 .$
На 10: последняя цифра $0 .$
На 3: сумма цифр числа делится на 3.
На 9: сумма цифр числа делится на 9.
На 11: разность сумм цифр на чётных и нечётных позициях делится на 11.

ВАЖНОЕ

Сумма цифр и остаток по модулю 9

Обозначим через $S (N)$ сумму цифр числа $N .$ Тогда:

N \equiv S (N) (mod 9)

То есть $N$ и $S (N)$ дают один и тот же остаток при делении на 9. Это следует из того, что $10 \equiv 1 (mod 9),$ поэтому любая степень десятки оставляет остаток $1 .$
То же верно и для модуля 3: $N \equiv S (N) (mod 3) .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Остаток от деления

Любое целое $a$ однозначно представимо в виде $a = b q + r,$ где $0 ⩽ r < b .$ Число $r$ - это остаток. Два ключевых свойства:

Остаток суммы равен остатку суммы остатков: $(a + c) mod b = (a mod b + c mod b) mod b .$
Остаток произведения равен остатку произведения остатков: $(a \cdot c) mod b = ((a mod b) (c mod b)) mod b .$

ВАЖНОЕ

Разложение на простые множители

Основная теорема арифметики: любое натуральное $N > 1$ единственным образом (с точностью до порядка) записывается в виде произведения простых:

N = p_{1}^{α_{1}} \cdot p_{2}^{α_{2}} \cdot \dots \cdot p_{m}^{α_{m}}

Отсюда количество делителей числа $N :$

d (N) = (α_{1} + 1) (α_{2} + 1) \dots (α_{m} + 1)

Например, $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5,$ значит $d (360) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 .$

ВАЖНОЕ

НОД и НОК

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное связаны формулой:

НОД (a, b) \cdot НОК (a, b) = a \cdot b

Если известны разложения на простые $a = \prod p_{i}^{α_{i}}$ и $b = \prod p_{i}^{β_{i}},$ то:

НОД (a, b) = \prod p_{i}^{m i n (α_{i}, β_{i})}, НОК (a, b) = \prod p_{i}^{m a x (α_{i}, β_{i})}

iЗАМЕЧАНИЕ

Чётность

Чётное $\pm$ чётное = чётное. Нечётное $\pm$ нечётное = чётное. Чётное $\pm$ нечётное = нечётное. Произведение чётно, если хотя бы один множитель чётный; нечётно, только если все нечётные.

Алгоритм решения

Задание 20 всегда состоит из трёх пунктов: а) пример, б) существует ли (часто "нет"), в) оценка плюс пример.

АЛГОРИТМ

Стратегия работы с заданием 20

1. Формализуй условие. Введи буквы для искомых чисел. Если сказано "натуральные различные", запиши $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n}$ - это сразу даёт оценки $x_{k} ⩾ x_{1} + (k - 1) .$
2. Пункт а) - ищи пример. Перебирай с малых чисел. Если пример найден, выпиши его и проверь каждое условие задачи по отдельности. Этого достаточно для 1 балла.
3. Пункт б) - ищи противоречие. Если пример не находится за 5 минут, скорее всего, ответ "нет". Пробуй приёмы по убыванию полезности: чётность, остаток по $mod 3$ или $mod 9$ (через сумму цифр), оценка через неравенства.
4. Пункт в) - оценка плюс пример.

Оценка: докажи неравенством, что искомая величина не больше (или не меньше) числа $M .$
Пример: предъяви конкретный набор, где значение равно $M .$ Без примера оценка не засчитывается.

Примеры решения

Разберём две задачи. Первая - на чистую делимость и сумму цифр. Вторая - на оценки сумм и строгое неравенство для различных чисел.

ПРИМЕР 1

Делимость и сумма цифр

На доске написано $100$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $5120 .$

а) Может ли на доске быть число $230 ?$
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа $14 ?$
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных $14,$ может быть на доске?

ПРИМЕР 2

Различные числа и строгая оценка

На доске написано $8$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое трёх наибольших из них равно $45 .$ Среднее арифметическое трёх наименьших равно $12 .$

а) Может ли сумма всех восьми чисел равняться $190 ?$
б) Может ли шестое по величине число равняться $45 ?$
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма всех восьми чисел?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Оценка без примера в пункте в

Ошибка: Доказать с помощью неравенств, что наибольшее значение не превышает $M,$ и записать в ответ $M$ - без примера, где это значение достигается.
Правильно: Оценка - только половина дела. Нужно явно предъявить конкретный набор чисел, дающий ровно $M,$ и проверить все условия задачи для этого набора. Без примера за пункт в) баллы не ставят.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перебор вместо доказательства в пункте б

Ошибка: Написать: "Перебрал пять-шесть вариантов, ничего не вышло, значит, ответ нет".
Правильно: Перебор нескольких случаев ничего не доказывает - нужно найти общее свойство, которое нарушается всегда. Типичные приёмы: показать, что чётность сумм не сходится; что остаток по $mod 3$ или $mod 9$ отличается; что неравенство для минимальной суммы не выполняется.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Невнимательность к словам "натуральные" и "различные"

Ошибка: Включить в пример число $0$ (натуральные начинаются с $1$ ) или два одинаковых числа, когда сказано "различные".
Правильно: После построения примера перечитай первое предложение задачи и сверь каждое ограничение: натуральные ли, различные ли, больше ли чего-то.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 20

Время выполнения: 30-40 минут, если хочешь все три пункта. Пункты а) и б) часто решаются за 5-10 минут в сумме.
Очерёдность: прочитай задание 20 сразу после 14 и 16. Пункт а) нередко щёлкается в уме и приносит лёгкий балл, даже если пункт в) не дастся.
Оформление: в пункте а) не расписывай, как ты искал пример. Достаточно написать: "Да. Например, числа $1, 2, 33, 42, 43, 44, 45, 46 .$ Проверим условия: ..." и аккуратно проверить каждое требование.
Связь пунктов: идея оценки для пункта в) часто подсказана неудачей в пункте б) - не стирай черновик.
Переключайся: если пункт в) не идёт 15 минут - оставь его и вернись после других задач части 2.

За что дают баллы

В задании 20 баллы начисляются по пунктам (от 0 до 4):

4 балла: обоснованно решены все три пункта. В пункте в) есть и строгая оценка, и корректный пример.
3 балла: полностью решён пункт в) + решён ровно один из пунктов а) или б).
2 балла: решены пункты а) и б). ИЛИ полностью решён только пункт в) (оценка плюс пример).
1 балл: обоснованно решён только пункт а) ИЛИ только пункт б).
0 баллов: оценка в пункте в) без примера. ИЛИ пример, не удовлетворяющий условию. ИЛИ голые ответы "да/нет" без обоснования.

Ключевая мысль: одна строгая оценка без примера = $0$ за пункт в). Один пример без оценки = $0$ за пункт в). Только оба вместе дают $2$ балла за в).

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна минимальная сумма

100

различных натуральных чисел?

2.Сколько натуральных делителей у числа

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 ?

3.Какой остаток даёт число

N

при делении на

9 ?

4.Что обязательно нужно предъявить в пункте в), чтобы получить баллы?