Задача №17092

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система

$$\{\begin{array}{l}\left(3\sqrt{x|x|}+|y|-3\right)\cdot \left(|x|+3|y|-9\right)=0,\\ (x-a{)}^2+y^2=25\end{array}$$

имеет единственное решение.

Выражение $\sqrt{x|x|}$ определено при $x⩾0\text{,}$ причём $\sqrt{x|x|}=\sqrt{x\cdot x}=x\text{.}$ Поэтому первое уравнение системы при $x⩾0$ принимает вид

$$(3x+|y|-3)\cdot (|x|+3|y|-9)=0,$$

и распадается на две кривые $L_1:|y|=3-3x$ ($0⩽x⩽1$) и $L_2:|y|=\frac{9-x}{3}$ ($0⩽x⩽9$). Обе симметричны относительно оси $Ox$ и расположены в полуплоскости $x⩾0\text{.}$

Второе уравнение задаёт окружность с центром $(a;0)$ радиуса $5\text{,}$ симметричную относительно оси $Ox\text{.}$ Так как фигура $L_1\cup L_2$ симметрична относительно оси $Ox\text{,}$ любое пересечение с $y\ne 0$ даёт парную точку. Следовательно, единственное решение возможно только при пересечении на оси $Ox\text{.}$

Нули фигуры на $Ox\text{:}$ $x=1$ (на $L_1$) и $x=9$ (на $L_2$). Окружность проходит через точку $(x_0;0)$ при $(x_0-a{)}^2=25\text{,}$ т.е. $a=x_0\pm 5\text{:}$

1. $x_0=1\text{:}$ $a=-4$ или $a=6\text{;}$
2. $x_0=9\text{:}$ $a=4$ или $a=14\text{.}$

Проверим каждое значение.

Случай $a=-4\text{:}$ окружность $(x+4{)}^2+y^2=25\text{.}$ При $x=0\text{:}$ $y=\pm 3$ — обе точки лежат на $L_1$ и $L_2\text{.}$ Получаем три решения $(1;0)\text{,}$ $(0;3)\text{,}$ $(0;-3)\text{.}$

Случай $a=4\text{:}$ окружность $(x-4{)}^2+y^2=25$ проходит через $(9;0)\text{.}$ При $x=0\text{:}$ $y=\pm 3\text{,}$ и обе точки лежат на фигуре. Три решения.

Случай $a=6\text{:}$ помимо $(1;0)\text{,}$ окружность пересекает $L_2$ в двух точках с $y\ne 0$ (симметричных по $y$). Три решения.

Случай $a=14\text{:}$ окружность $(x-14{)}^2+y^2=25$ задана при $x\in [9;19]\text{.}$ Фигура определена при $x\in [0;9]\text{.}$ Пересечение возможно только при $x=9\text{,}$ причём $y=0\text{.}$ Единственная точка $(9;0)\text{.}$

Ответ: $a=14\text{.}$