Найдите все значения a , при каждом из которых система cases (3sqrt(x|x|) + |y| - 3) * (|x| + 3|y| - 9) = 0, (x - a)^2 + y^2 = 25 cases имеет единственное решение.

Выражение sqrt(x|x|) определено при x 0 , причём sqrt(x|x|) = sqrt(x * x) = x . Поэтому первое уравнение системы при x 0 принимает вид (3x + |y| - 3) * (|x| + 3|y| - 9) = 0, и распадается на две кривые L_1 |y| = 3 - 3x ( 0 x 1 ) и L_2 |y| = (9 - x)/(3) ( 0 x 9 ). Обе симметричны относительно оси Ox и расположены в полуплоскости x 0 . Второе уравнение задаёт окружность с центром (a;0) радиуса 5 , симметричную относительно оси Ox . Так как фигура L_1 U L_2 симметрична относительно оси Ox , любое пересечение с y != 0 даёт парную точку. Следовательно, единственное решение возможно только при пересечении на оси Ox . Нули фигуры на Ox : x = 1 (на L_1 ) и x = 9 (на L_2 ). Окружность проходит через точку (x_0;0) при (x_0 - a)^2 = 25 , т.е. a = x_0 +- 5 : 1. x_0 = 1 : a = -4 или a = 6 ; 2. x_0 = 9 : a = 4 или a = 14 . Проверим каждое значение. Случай a = -4 : окружность (x+4)^2 + y^2 = 25 . При x = 0 : y = +- 3 — обе точки лежат на L_1 и L_2 . Получаем три решения (1;0) , (0;3) , (0;-3) . Случай a = 4 : окружность (x-4)^2 + y^2 = 25 проходит через (9;0) . При x = 0 : y = +- 3 , и обе точки лежат на фигуре. Три решения. Случай a = 6 : помимо (1;0) , окружность пересекает L_2 в двух точках с y != 0 (симметричных по y ). Три решения. Случай a = 14 : окружность (x-14)^2 + y^2 = 25 задана при x in [9;19] . Фигура определена при x in [0;9] . Пересечение возможно только при x = 9 , причём y = 0 . Единственная точка (9;0) . Ответ: a = 14 .

$14$