Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
(a+1)x2+(∣a+2∣−∣a+10∣)x+a=5имеет два положительных корня.
Перепишем уравнение в виде
(a+1)x2+(∣a+2∣−∣a+10∣)x+(a−5)=0.1. Случай a=−1.
Уравнение становится линейным:
Получен один отрицательный корень, что не удовлетворяет условию.
2. Пусть a=−1. Рассмотрим различные случаи раскрытия модулей.
Случай a⩾−2.
В этом случае ∣a+2∣−∣a+10∣=(a+2)−(a+10)=−8.
Уравнение принимает вид:
Квадратное уравнение имеет два положительных корня, если:
⎩⎨⎧D>0,x1x2>0,x1+x2>0.Найдём дискриминант:
D=64−4(a+1)(a−5)=−4(a2−4a−21)=−4(a+3)(a−7).D>0⇔(a+3)(a−7)<0⇔−3<a<7.
По теореме Виета:
x1x2=a+1a−5>0⇔a∈(−∞;−1)∪(5;+∞);
x1+x2=a+18>0⇔a>−1.
Пересекая с условием a⩾−2, получаем:
a∈(5;7).
Случай −10⩽a<−2.
В этом случае ∣a+2∣−∣a+10∣=−(a+2)−(a+10)=−2a−12.
Уравнение принимает вид:
Дискриминант:
D=4(a+6)2−4(a+1)(a−5)=4(16a+41).D>0⇔a>−1641≈−2,56.
Сумма корней: x1+x2=a+12a+12>0.
Так как в рассматриваемом случае a<−2, то a+1<0, следовательно, должно быть 2a+12<0, то есть a<−6.
Условия a>−2,56 и a<−6 не имеют общих решений.
Случай a<−10.
В этом случае ∣a+2∣−∣a+10∣=−(a+2)−(−(a+10))=8.
Уравнение принимает вид:
Дискриминант D=−4(a+3)(a−7)>0 при a∈(−3;7), что несовместимо с a<−10.
Проверим граничные значения:
— При a=5 уравнение 6x2−8x=0 имеет корни x1=0 и x2=4/3 (один из них не является положительным).
— При a=7 уравнение 8x2−8x+2=0 имеет один кратный корень x=0,5 (не два различных корня).
Ответ: (5;7).