Найдите значение выражения (6 + 15 + 10)/(5 + 2 + 1) , если = -0,4 .

Задача №16737: Вычисления и преобразования

Дано $t g α = - 0, 4 = - \frac{2}{5} .$ Найти $\frac{6 cos α + 15 sin α + 10}{5 sin α + 2 cos α + 1} .$

Ключевое наблюдение. Выделим в числителе утроенный знаменатель:

3 \cdot (5 sin α + 2 cos α + 1) = 15 sin α + 6 cos α + 3.

Тогда числитель: $6 cos α + 15 sin α + 10 = 3 \cdot (5 sin α + 2 cos α + 1) + 7 .$

Значит,

\frac{6 cos α + 15 sin α + 10}{5 sin α + 2 cos α + 1} = 3 + \frac{7}{5 sin α + 2 cos α + 1} .

Шаг 2. Вычислим $5 sin α + 2 cos α .$

Из $t g α = - \frac{2}{5}$ имеем $sin α = - \frac{2}{5} cos α .$ Подставим:

5 sin α + 2 cos α = 5 \cdot (- \frac{2}{5} cos α) + 2 cos α = - 2 cos α + 2 cos α = 0.

Значение не зависит от знака $cos α$ — знаменатель в обоих случаях равен $0 + 1 = 1 .$

Шаг 3. Подставляем:

3 + \frac{7}{1} = 10.

Ответ: 10.