Задачи о числах

Задачи о числах и логике (Задание 21)

Задание 21 завершает базовый ЕГЭ по математике. Это задача на смекалку: на разложение числа, на перебор небольшого набора вариантов, на оценку границ. Единого алгоритма нет, но есть три кирпичика, из которых собирают такие задачи: признаки делимости, запись числа через разряды и метод "оценка + перебор".

Ключевые факты и методы

ВАЖНОЕ

Строгие неравенства

Слова-маркеры читаются буквально:

• "больше $18\text{,}$ но меньше $21$" $⟺$ $18<x<21\text{.}$ Для целых $x$ остаются только $19$ и $20\text{.}$

• "не меньше $18\text{,}$ не больше $21$" $⟺$ $18⩽x⩽21\text{.}$ Границы входят.

Путаница "строго / нестрого" — одна из самых частых ошибок в задании 21.

Алгоритм решения

Несмотря на разнообразие сюжетов, к задаче 21 можно применять общий подход.

Примеры решения

Ниже три задачи от простой к более комплексной: запись числа через цифры, признаки делимости, перебор с границами.

Частые ошибки

Что запомнить

• Натуральные числа — это числа для счёта: $1,2,3,\dots$ Ноль не является натуральным числом.

• Для задач про цифры используй запись $\overline{ab}=10a+b\text{,}$ $\overline{abc}=100a+10b+c\text{.}$

• Для задач "сколько этажей, подъездов, полок" — раскладывай общее количество на простые множители и распределяй по условиям $a<b<c\text{.}$

• Для задач "сколько строк в таблице" — считай общую сумму двумя способами и оценивай число строк как целое в узком коридоре $19n⩽S⩽20n\text{.}$

• Признаки делимости на $2\text{,}$ $3\text{,}$ $5\text{,}$ $9$ — самый быстрый способ отфильтровать кандидаты при переборе.

Стратегия на экзамене