Задачи на смекалку (Задание 21)

Двадцать первое задание - финальный номер базового ЕГЭ. Но бояться его не стоит: здесь не проверяют знание сложных теорем или олимпиадных формул. Это задание оценивает логику, здравый смысл и умение перевести запутанный текст в простую картинку, схему или короткий перебор. Ответ - целое число или конечная десятичная дробь, как и в остальных номерах базы.

Какие темы встречаются

Условия задания очень разные, но все они сводятся к трём большим подтемам. В банке ФИПИ распределение такое:

Задачи о числах (около 84%): расположение объектов на кольцевой дороге, поиск неизвестного расстояния, делимость, свойства цифр, числовые закономерности. Сюда же относятся задачи про кольцевые маршруты с заправками или городами.
Текстовые задачи (около 9%): распилы реек и брёвен, разрезание ленточек по цветным линиям, задачи про количество кусков и разрезов.
Планиметрия (около 7%): расположение отметок на ленте относительно середины, лабиринты, задачи про этажи и переходы, прямоугольники с данными о частях.

Обрати внимание: "планиметрия" в этом номере - не геометрические формулы, а логика расположения объектов на прямой или плоскости. Теоремы синусов и площадей тебе здесь не понадобятся.

Общий подход

Поскольку подтемы очень разные, единой формулы не существует. Но есть три универсальных приёма, которые работают почти всегда.

Правило разрезов и кусков

Если режут не замкнутую линию (рейку, ленту, полоску), то:

Количество кусков = Количество разрезов + 1

Количество разрезов = Количество кусков - 1

Принцип перебора с отсечением

Если в условии просят "найти наименьшее", "сколько существует", "при каком значении" - переберай варианты по порядку от малого к большему и останавливайся на первом, который подходит под все условия. Часто достаточно 3-5 попыток.

Как решать задачи на смекалку

1. Нарисуй крупную схему. Не пытайся решить задачу в уме. Нарисуй круг, отрезок, таблицу или числовую ось прямо в черновике.
2. Перенеси все числа на рисунок. Отметь известные расстояния, количество разрезов, данные цифры.
3. Проверь крайние случаи. Если объект может лежать слева или справа - нарисуй оба варианта и проверь, какой из них не противоречит условию.
4. Найди скрытые закономерности. На кольцевом маршруте сумма нескольких дуг может дать полную длину кольца. Количество кусков всегда на один больше числа разрезов.
5. Проверь ответ обратной подстановкой. Подставь полученное число в условие и убедись, что все данные сходятся.

Примеры решения

Разберём две задачи из разных подтем: числовая задача на перебор и текстовая задача на распилы.

Пример 1. Задача о числах - перебор

Условие:
Найди наименьшее трёхзначное натуральное число, которое одновременно удовлетворяет четырём условиям:
1) сумма его цифр равна $12;$
2) число кратно $7;$
3) при делении на $5$ даёт остаток $3;$
4) последняя цифра нечётная.

Решение:

1. Последняя цифра даёт остаток $3$ при делении на $5$ и при этом нечётная. Цифры $0, 1, \dots, 9$ при делении на $5$ дают остатки $0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4 .$ Остаток $3$ дают цифры $3$ и $8 .$ Из них нечётная только $3 .$ Значит, число заканчивается на $3 .$

2. Число кратно $7$ и оканчивается на $3 .$ Трёхзначные кратные семи начинаются с $105, 112, 119, 126, 133, \dots .$ Отбираем те, что оканчиваются на $3 :$ $133, 203, 273, 343, \dots .$

3. Проверяем сумму цифр $= 12 :$

133 : 1 + 3 + 3 = 7 (нет)

203 : 2 + 0 + 3 = 5 (нет)

273 : 2 + 7 + 3 = 12 (да)

4. Первое число подходит. Так как мы шли от меньшего к большему, это и есть наименьшее.

Ответ: $273$

Пример 2. Текстовая задача - распилы по цветам

Условие:
На длинной рейке нанесены поперечные линии трёх цветов: синие, красные и жёлтые. Если распилить рейку только по синим линиям, получится $9$ кусков. Если только по красным - $11$ кусков. Если только по жёлтым - $6$ кусков. Сколько кусков получится, если распилить рейку по линиям всех трёх цветов сразу? Считается, что линии разных цветов не совпадают между собой.

Показать решение

Работаем через количество разрезов, а не кусков. Складывать можно только разрезы.

1. Синих линий:

9 - 1 = 8 разрезов .

2. Красных линий:

11 - 1 = 10 разрезов .

3. Жёлтых линий:

6 - 1 = 5 разрезов .

4. Общее количество разрезов всех цветов:

8 + 10 + 5 = 23 разреза .

5. Количество кусков на один больше числа разрезов:

23 + 1 = 24 куска .

Ответ: $24$

Частые ошибки

Складывают куски, а не разрезы

Ошибка: В задачах про распилы суммируют итоговые числа кусков ( $9 + 11 + 6 = 26$ ) и записывают результат в ответ.

Правильно: Всегда переходи от кусков к разрезам (отнимай единицу). Складывай разрезы, а потом добавляй единицу к сумме, чтобы получить финальное число кусков. Разрезы складываются, куски - нет.

Решают задачу в уме

Ошибка: Пытаются складывать и вычитать расстояния или переставлять цифры без рисунка, путаясь в вариантах.

Правильно: Обязательно рисуй схему. Для кольцевых задач - окружность с первой точкой наверху (на $12$ часов). Для числовых - таблицу кандидатов с пометками, какое условие выполняется. Для лент - прямой отрезок с отметками.

Пропускают крайние случаи

Ошибка: Находят один вариант расположения точек и забывают, что возможен симметричный (зеркальный).

Правильно: Если в задаче есть слово "между", "ближе", "по разные стороны" - проверяй оба возможных расположения и отбрасывай то, которое противоречит условию.

Стратегия на экзамене

Стратегия

Время выполнения: около $15$ минут. Это самое "дорогое" по времени задание базы.
Приоритет: Решай в последнюю очередь. Сначала закрой все остальные $20$ заданий, перенеси ответы в бланк и только потом возвращайся к номеру $21 .$
Когда пропускать: Если до конца экзамена осталось $5$ минут, а ответы ещё не перенесены в бланк - смело пропускай и занимайся оформлением. Один балл не стоит потерянных баллов за незаполненный бланк.
Проверка ответа: После того как нашёл число или расстояние - подставь его обратно в условие и проверь, что все данные сходятся. На задачах про распилы: сложи разрезы и прибавь единицу ещё раз.
Если застрял: Перечитай условие, выдели все числа и ключевые слова ("наименьшее", "между", "кратно", "по разные стороны"), начни рисунок с нуля.