Задачи на совместную работу — ЕГЭ база

Задачи на совместную работу (Задание 20)

Задачи на работу - это один из классических сюжетов текстового задания 20. Математически они ничем не отличаются от задач на движение. Если ты умеешь решать задачи про автомобили, то справишься и с принтерами, экскаваторами или сотрудниками, которые вместе выполняют общий заказ.

Суть темы

В задачах на работу вместо пройденного расстояния выступает объём выполненной работы. Вместо скорости движения - скорость работы (её называют производительностью). А время остаётся временем.

Связь между этими тремя величинами описывается одной простой формулой:

ВАЖНОЕ

Основная формула работы

A = p \cdot t

Где:

$A$ - объём работы (детали, литры, страницы или просто «весь заказ»);
$p$ - производительность (сколько работы делается за единицу времени: деталей в час, литров в минуту);
$t$ - время работы.

Из этой формулы легко выразить две другие величины:
$p = \frac{A}{t}$ и $t = \frac{A}{p} .$

Совместная работа

Если два человека или два механизма работают вместе, их производительности (скорости работы) складываются.

Наглядная схема сложения производительностей на примере двух

ВАЖНОЕ

Совместная производительность

p_{совм} = p_{1} + p_{2}

✓СОВЕТ

Лайфхак: «Вся работа - это единица»

Если в задаче не сказано, сколько конкретно деталей нужно сделать или литров накачать (например: «Первый мастер выполняет заказ за 5 часов...»), смело принимай весь объём работы за единицу: $A = 1 .$ Тогда производительность будет просто дробью: $\frac{1}{5}$ заказа в час.

Алгоритм решения

Для задач на работу идеально подходит табличный метод. Он помогает не запутаться в данных и легко составить уравнение.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через таблицу

1. Нарисуй таблицу из трёх столбцов: $p,$ $t,$ $A .$
2. Заполни известные данные. Если объём работы не указан в штуках/литрах, ставь в столбец $A$ единицу.
3. Вырази неизвестное. Заполни пустые ячейки таблицы, используя формулы $A = p \cdot t$ или $t = A / p .$ Главное неизвестное обозначь за $x .$
4. Составь уравнение. Найди в условии факт, который связывает строчки таблицы (например, разница во времени равна $1$ часу).
5. Реши уравнение и проверь ответ. Производительность и время не могут быть отрицательными.

Таблица производительностей для задачи на работу

Примеры решения

Разберём три самых частых типа задач от простого к сложному.

ПРИМЕР 1

Классическая совместная работа

Условие:
Один принтер в офисе печатает пакет документов за $24$ минуты, а другой, более быстрый, - за $8$ минут. За сколько минут распечатают тот же пакет оба принтера, если включить их одновременно?

ПРИМЕР 2

Известно совместное время

Условие:
Два экскаватора, работая вместе, выкапывают котлован под фундамент за $12$ часов. Известно, что первый экскаватор, работая в одиночку, справляется с этим же котлованом за $20$ часов. За сколько часов выкопает такой же котлован второй экскаватор, работая один?

В некоторых задачах объём работы дан в явном виде (количество деталей, страниц, вопросов). В этом случае за $x$ обычно удобно брать именно этот объём.

ПРИМЕР 3

Известна производительность в штуках

Условие:
Два сотрудника готовят одинаковый по объёму отчёт. Первый набирает $18$ страниц в час, второй - $20$ страниц в час. Они одновременно начали работу, и первый закончил свой отчёт позже второго на $1$ час. Сколько страниц содержит отчёт?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сложение времени вместо производительности

Ошибка: Считать, что если первый делает заказ за $3$ часа, а второй за $2$ часа, то вместе они сделают его за $3 + 2 = 5$ часов.
Правильно: Складывать можно только скорости (производительности). Время складывать нельзя! Вместе они работают быстрее, значит времени уйдёт меньше, чем у самого быстрого из них. Правильный расчёт: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ заказа в час, значит время равно $\frac{6}{5} = 1, 2$ часа.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в уравнении с разницей во времени

Ошибка: В задачах типа Примера 3 вычитать из времени быстрого работника время медленного и получать положительное число: $\frac{x}{20} - \frac{x}{18} = 1 .$ Это приведёт к отрицательному $x .$
Правильно: Тот, кто работает быстрее (чья производительность больше), тратит меньше времени. Всегда вычитай из бóльшего времени (дроби с меньшим знаменателем) меньшее время (дробь с бóльшим знаменателем).

Что запомнить

Главные формулы: $A = p \cdot t,$ $p_{совм} = p_{1} + p_{2} .$
Складывать можно только производительности (скорости работы). Время складывать нельзя!
Если объём работы не указан в конкретных штуках - принимай всю работу за $1 .$
Таблица $p - t - A$ спасает от ошибок при составлении уравнения.
При составлении уравнения на разницу во времени: $Время медленного - Время быстрого = Разница .$

✓СОВЕТ

Стратегия

Задание 20 требует сосредоточенности, поэтому не стоит решать его в самом начале экзамена. Сначала разделайся с простыми номерами, обеспечь себе базовые баллы. Составление таблицы и уравнения займёт около 10-15 минут. Если получается некрасивый ответ (бесконечная дробь) - перечитай условие: возможно, в таблице местами перепутаны скорости работников.

Проверь себя0 из 4

1.Первый мастер выполняет заказ за

6

часов, второй — за

3

часа. Какова их совместная производительность?

2.Два насоса вместе наполняют бассейн за

4

часа. Первый насос в одиночку — за

6

часов. За сколько часов наполнит бассейн второй насос?

3.Что можно складывать при совместной работе?

4.Первый рабочий делает

15

деталей в час, второй —

12

деталей в час, и первый закончил одинаковый заказ на

1

час раньше. Какое уравнение верно (

x

— число деталей в заказе)?