О задании 20: Текстовые задачи

Задание 20 базового ЕГЭ - это классическая текстовая задача. Здесь нет сложных преобразований графиков или стереометрии, зато нужно перевести жизненную ситуацию с русским текстом на язык математики (составить уравнение) и решить его.

Это предпоследнее задание в варианте, и оно требует сосредоточенности. Ответ всегда получается "красивым": целым числом или конечной десятичной дробью.

Какие темы встречаются

В банке ФИПИ для этого номера собраны задачи нескольких типов. Вот они в порядке убывания частоты:

1. Задачи на прогрессии и числа (~35%). Не пугайся слова "прогрессия". Чаще всего это задачи-головоломки на подсчёт очков в викторине, чтение страниц в книге или зарплату за несколько дней.
2. Движение по прямой (~31%). Классика: два автомобиля едут навстречу друг другу или один догоняет другого. Сюда же относятся задачи на среднюю скорость.
3. Совместная работа (~16%). Мастера красят стены, трубы наполняют бассейн. Решаются точно так же, как задачи на движение.
4. Проценты, сплавы и смеси (~15%). Смешивание растворов разной концентрации или сплавление металлов.
5. Движение по воде (~3%). Задачи с учётом скорости течения реки (катер плывёт по течению и против него).

Базовые формулы по подтемам

Запомни три опорные формулы - они закрывают почти все сюжеты задания 20.

Движение и работа

Движение: $S = v \cdot t$ (путь = скорость $\cdot$ время).

Работа: $A = p \cdot t,$ где $p = \frac{1}{t}$ - производительность мастера, выполняющего весь заказ за время $t .$

Движение по воде: $v_{по теч} = v_{соб} + v_{теч},$ $v_{против} = v_{соб} - v_{теч} .$

Проценты, сплавы и смеси

Масса чистого вещества в растворе:

m_{вещ} = m_{раств} \cdot \frac{p}{100}

где $p$ - процент концентрации.

При смешивании сохраняется как общая масса раствора, так и масса чистого вещества в нём.

Общий алгоритм решения

Большинство задач 20-го номера (кроме логических задач на очки) идеально решаются табличным методом: структурируй условие в таблицу "кто / что известно / что выразить".

Алгоритм решения через таблицу

1. Прочитай вопрос. То, что спрашивают, чаще всего удобно обозначить за $x .$
2. Нарисуй таблицу. Для движения: $v$ (скорость), $t$ (время), $S$ (путь). Для работы: $p$ (производительность), $t$ (время), $A$ (объём работы). Для смесей: масса раствора, процент, масса вещества.
3. Заполни два столбца. Впиши числа из условия и переменную $x .$
4. Вырази третий столбец. Используй соответствующую формулу (например, $t = \frac{S}{v}$ или $m_{вещ} = m_{раств} \cdot \frac{p}{100}$ ).
5. Составь уравнение. В условии всегда есть "зацепка": кто-то приехал на 2 часа раньше, общее время составило 5 часов, итоговая концентрация равна $30% .$ Используй выраженный столбец, чтобы составить равенство.
6. Реши и сделай проверку. Подставь найденный $x$ обратно в условие и проверь, сходится ли "житейская" логика.

Примеры решения

Разберём два разных сюжета: совместную работу и задачу на сплавы. Пойдёт по одной схеме - таблица, уравнение, проверка.

Пример 1. Совместная работа

Условие:
Первый насос наполняет бассейн за $20$ часов, второй - за $30$ часов. За сколько часов бассейн наполнится, если оба насоса включить одновременно?

Решение:

Обозначим объём бассейна за $1$ (одну "единицу работы"). Тогда производительности насосов - это доля бассейна в час.

Насос	Время в одиночку	Производительность $p$	За время $t$ вместе наполнит
Первый	$20$ ч	$\frac{1}{20}$	$\frac{t}{20}$
Второй	$30$ ч	$\frac{1}{30}$	$\frac{t}{30}$

1. За $t$ часов оба насоса вместе наполняют весь бассейн:

\frac{t}{20} + \frac{t}{30} = 1

2. Общий знаменатель - $60 :$

\frac{3 t}{60} + \frac{2 t}{60} = 1 \Rightarrow \frac{5 t}{60} = 1

3. Отсюда:

t = \frac{60}{5} = 12

Проверка: за $12$ ч первый наполнит $\frac{12}{20} = 0, 6$ бассейна, второй - $\frac{12}{30} = 0, 4 .$ В сумме $1 .$ Сходится.

Ответ: $12$

Пример 2. Сплавы и проценты

Условие:
Имеется два сплава меди. Первый содержит $10%$ меди, второй - $40%$ меди. Сплавили $4$ кг первого и $6$ кг второго. Какой процент меди в получившемся сплаве?

Показать решение

Удобно структурировать условие в таблицу: нас интересует масса чистой меди в каждом куске и суммарная масса сплава.

Сплав	Масса сплава	Процент меди	Масса меди
Первый	$4$ кг	$10%$	$4 \cdot 0, 1 = 0, 4$ кг
Второй	$6$ кг	$40%$	$6 \cdot 0, 4 = 2, 4$ кг
Итог	$10$ кг	$x %$	$0, 4 + 2, 4 = 2, 8$ кг

1. Масса меди в итоговом сплаве - сумма масс меди в двух кусках:

m_{медь} = 0, 4 + 2, 4 = 2, 8 кг

2. Общая масса сплава:

4 + 6 = 10 кг

3. Процент меди:

x = \frac{2 , 8}{10} \cdot 100 = 28

Проверка по здравому смыслу: смешиваем $10%$ и $40%,$ доля второго побольше ( $6$ из $10$ ), значит итог должен быть ближе к $40%,$ но не выше. $28%$ - подходит.

Ответ: $28$

Частые ошибки

Нашли

x,

но не то, что спрашивали

Ошибка: Ученик обозначил за $x$ скорость грузовика, нашёл $x = 60,$ обрадовался и записал в ответ. А в задаче спрашивали скорость легкового автомобиля, которая равна $x + 20 .$

Как избежать: Как только получено число, перечитай вопрос задачи. Проверь, действительно ли найденная величина - это финальный ответ.

Несоответствие единиц измерения

Ошибка: В задаче дано расстояние в километрах, скорость в км/ч, а время задержки - $30$ минут. Ученик пишет в уравнение число $30$ вместо $\frac{1}{2} .$

Как избежать: Перед составлением уравнения переводи минуты в часы ( $15$ минут = $0, 25$ ч, $20$ минут = $\frac{1}{3}$ ч).

Стратегия на экзамене

Стратегия

Ориентировочное время: 15 минут. Это одна из самых "долгих" задач в варианте.
Приоритет: Не зависай на ней в начале. Сначала реши быстрые задания (1-18), обеспечь себе базовые баллы, а текстовую задачу оставь на десерт вместе с заданиями 19 и 21.
Проверка здравым смыслом: Это твой лучший друг в задании 20. Пешеход идёт со скоростью $3 - 5$ км/ч, велосипедист едет $12 - 20$ км/ч, машина - $60 - 100$ км/ч. Если мастер выполняет заказ за отрицательное время или скорость течения больше скорости катера - ищи ошибку в знаках уравнения.
Рисуй схемы: Для задач на движение и сплавы рисунки работают лучше любого текста.