Задачи на проценты, сплавы и смеси — ЕГЭ база

Задачи на проценты, сплавы и смеси (Задание 20)

Задание 20 ЕГЭ базового уровня содержит классические текстовые задачи. Один из самых частых сюжетов здесь - это задачи на проценты, сплавы, растворы и смеси. На первый взгляд они кажутся запутанными, но если записать данные в таблицу "до / после", уравнение составится почти само.

Суть темы

Любой раствор или сплав состоит из двух частей:
1. Чистое (активное) вещество - кислота, соль, никель, медь, спирт, сахар и т.д.
2. Растворитель или базовая масса - вода или базовый металл.

Когда ты смешиваешь два раствора, общие массы складываются. И массы чистых веществ внутри них - тоже складываются. А вот проценты складывать нельзя: итоговая концентрация зависит от соотношения масс.

ВАЖНОЕ

Масса чистого вещества

Чтобы найти массу чистого вещества, переведи процент в десятичную дробь (раздели на $100$ ) и умножь на общую массу раствора:

m_{вещ} = \frac{p}{100} \cdot M

где $p$ - концентрация в процентах, $M$ - масса всего раствора (или сплава).

Например, в $20$ кг сплава с концентрацией меди $15%$ содержится $0, 15 \cdot 20 = 3$ кг чистой меди. Остальные $17$ кг - это другие металлы.

ВАЖНОЕ

Смешение двух растворов

Если смешать два раствора с массами $M_{1},$ $M_{2}$ и концентрациями $p_{1} %,$ $p_{2} %,$ то итоговая концентрация $p$ находится из баланса чистого вещества:

\frac{p _{1}}{100} \cdot M_{1} + \frac{p _{2}}{100} \cdot M_{2} = \frac{p}{100} \cdot (M_{1} + M_{2})

Слева - чистое вещество до смешения, справа - после.

Алгоритм решения

Самый надёжный приём - таблица "до / после". В строках - участники смешивания и итог. В столбцах - общая масса, концентрация, масса чистого вещества. Таблица переводит условие в уравнение почти автоматически.

АЛГОРИТМ

Алгоритм через таблицу "до / после"

1. Нарисуй таблицу из трёх столбцов: "масса", "концентрация (%)", "масса вещества (кг или л)".
2. Строки - по одной на каждый исходный раствор и отдельная строка для итоговой смеси.
3. Впиши известные числа, неизвестные обозначь буквой $x .$ Масса итога равна сумме масс исходных.
4. Заполни третий столбец: масса вещества $=$ масса $\cdot$ процент $/$ $100 .$
5. Составь уравнение: сумма масс чистого вещества в исходных строках равна массе чистого вещества в строке "итог".
6. Реши уравнение и внимательно прочитай вопрос: часто просят не $x,$ а разность масс или итоговую массу.

Примеры решения

Начнём с простой задачи на разбавление, а затем перейдём к сплавам с неизвестной массой.

ПРИМЕР 1

Разбавление сока водой

Условие:
В банке $8$ литров сока с содержанием сахара $15% .$ В банку долили $4$ литра чистой воды. Какой процент сахара в получившемся напитке?

Решение:
Запиши данные в таблицу. Вода идёт как "раствор" с концентрацией $0% .$

	Масса, л	Концентрация, %	Масса сахара, л
Сок	$8$	$15$	$0, 15 \cdot 8 = 1, 2$
Вода	$4$	$0$	$0$
Итог	$12$	$p$	$0, 01 p \cdot 12$

1. Общая масса сахара не изменилась: сколько было, столько и осталось:

0, 01 p \cdot 12 = 1, 2

2. Решаем:

p = \frac{1 , 2}{0 , 12} = 10

Ответ: $10$

Иногда в задаче не дана конкретная масса, а сказано, что массы равны. В таком случае удобно обозначить каждую из них одной буквой.

ПРИМЕР 2

Равные массы растворов

Условие:
Смешали некоторое количество $30$ -процентного раствора кислоты с таким же количеством $40$ -процентного раствора этой же кислоты. Какая концентрация у получившегося раствора?

Решение:
Пусть масса каждого раствора равна $m .$ Строим таблицу.

	Масса	Концентрация, %	Масса кислоты
Первый раствор	$m$	$30$	$0, 3 m$
Второй раствор	$m$	$40$	$0, 4 m$
Итог	$2 m$	$p$	$0, 01 p \cdot 2 m$

1. Баланс кислоты:

0, 3 m + 0, 4 m = 0, 01 p \cdot 2 m

0, 7 m = 0, 02 p \cdot m

2. Массу $m$ можно сократить (она не нуль):

p = \frac{0 , 7}{0 , 02} = 35

Ответ: $35$

✓СОВЕТ

Лайфхак для равных масс

Если смешиваются растворы или сплавы одинаковой массы, итоговая концентрация - это среднее арифметическое их процентов: $\frac{30 + 40}{2} = 35% .$ Приём работает только для равных масс - не применяй его, если массы разные.

Теперь самая классическая задача ЕГЭ по теме - сплавление двух кусков металла с разными массами. Возьмём бронзу: сплав меди и олова.

ПРИМЕР 3

Бронза с неизвестной массой

Условие:
Имеется два куска бронзы. Первый содержит $15%$ олова, второй - $45%$ олова. Из них сплавили третий кусок, в котором $35%$ олова. Масса первого куска $-$ $5$ кг. На сколько килограммов масса второго куска больше массы первого?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сложение процентов

Ошибка: При смешивании $20%$ -го и $30%$ -го растворов думать, что получится $50%$ -й раствор ( $20 + 30 = 50$ ).

Правильно: Проценты складывать нельзя. Складываются только массы жидкостей и массы чистых веществ в килограммах или литрах. Итог всегда лежит между $20%$ и $30% .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вода как 100%

Ошибка: При добавлении чистой воды считать, что в ней $100%$ активного вещества, или забывать учитывать её при подсчёте общей массы.

Правильно: В чистой воде $0%$ соли или кислоты. Но массу воды обязательно нужно прибавить к общей массе итогового раствора.

Что запомнить

Главное правило смешивания: $m_{вещ . 1} + m_{вещ . 2} = m_{итог} .$
Масса чистого вещества $=$ масса раствора $\cdot$ процент $/$ $100 .$ Для $15%$ это $0, 15 .$
Чистая вода: $0%,$ чистый металл или чистая соль: $100% .$
Таблица "до / после" с тремя столбцами $-$ масса, процент, масса вещества $-$ снимает большую часть ошибок в уравнении.
Перечитывай вопрос задачи перед записью ответа: часто спрашивают не $x,$ а разность масс или массу итогового сплава.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: $10$ - $15$ минут. Это одна из самых трудоёмких задач базового уровня.
Приоритет: оставь задачу на конец экзамена. Сначала реши всю геометрию и вычислительные задания $1$ - $17 .$
Табличный метод: всегда выписывай "дано" таблицей "до / после" $-$ это снимает почти все ошибки в уравнении.
Проверка на здравый смысл: итоговая концентрация всегда между концентрациями смешиваемых частей. Если сплавил $15%$ и $45%,$ результат обязан быть больше $15$ и меньше $45 .$ Вышло $50%$ или $10%$ $-$ ищи ошибку.

Проверь себя0 из 4

1.Смешали равные массы

20%

-го и

40%

-го растворов кислоты. Какова концентрация итогового раствора?

2.Сколько килограммов чистой меди содержится в

40

кг сплава с концентрацией меди

15% ?

3.Что складывается при смешивании двух растворов?

4.Какая концентрация активного вещества у чистой воды в задачах на растворы?