Задачи на прогрессии — ЕГЭ база

Задачи на прогрессии (Задание 20)

Задание 20 в базовом ЕГЭ по математике - это текстовая задача. Один из частых сюжетов здесь - задачи на последовательные изменения: увеличение числа мест в рядах амфитеатра, кладка брёвен в срубе, погашение кредита равномерно уменьшающимися платежами. Почти всегда такие задачи сводятся к арифметической прогрессии. Геометрическая попадается реже, но тоже встречается.

Суть темы

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением (или вычитанием) одного и того же значения.

Представь, что ты начинаешь отжиматься: в первый день делаешь $10$ раз, а каждый следующий день добавляешь по $2$ раза. Результаты по дням: $10, 12, 14, 16, 18, \dots$ Это и есть арифметическая прогрессия.

У неё три главных элемента:

$a_{1}$ - первый член (с чего всё началось, в примере это $10$ ).
$d$ - разность или шаг прогрессии (на сколько меняется каждое следующее число, у нас $d = 2$ ).
$n$ - порядковый номер (например, день номер $5$ ).

Если $d > 0,$ прогрессия растёт; если $d < 0$ - убывает; если $d = 0$ - все числа одинаковые.

Основные формулы

Результат на 3-й день можно посчитать в уме. Но для 20-го дня или общей суммы за месяц без формул легко ошибиться.

ВАЖНОЕ

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Позволяет найти число на любой позиции:

a_{n} = a_{1} + d (n - 1)

Почему $n - 1 ?$ Для первого члена шаг прибавлять не нужно, для второго - нужен $1$ шаг, для десятого - $9$ шагов.

Числовая схема-лесенка, объясняющая формулу n-го члена

Чаще всего в задаче просят не последнее значение, а общую сумму (сколько всего мест в зале, сколько рублей за всю работу).

ВАЖНОЕ

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма всей последовательности:

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n

Смысл: складываем первое и последнее значения, делим пополам (получаем среднее), умножаем на количество элементов.

Геометрическая прогрессия отличается тем, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$ (знаменатель). Пример: $2, 6, 18, 54, \dots$ - каждый раз в $3$ раза больше.

ВАЖНОЕ

Геометрическая прогрессия

Формула n-го члена:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Сумма первых $n$ членов (при $q \neq = 1$ ):

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}

В базе чаще просят найти конкретный член $b_{n},$ чем сумму. Если условие звучит «в 2 (3, 5) раза больше», ищи геометрическую.

Алгоритм решения

Как только в задаче появляются слова «каждый следующий на ... больше (меньше), чем предыдущий», действуй по плану.

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на прогрессию

1. Переведи текст в буквы. Найди стартовое значение ( $a_{1}$ ), шаг изменения ( $d$ ) и количество шагов ( $n$ ).
2. Определи цель. Прочитай вопрос: нужно найти значение только последнего этапа ( $a_{n}$ ) или общую сумму за все этапы ( $S_{n}$ )?
3. Найди последнее значение. Посчитай $a_{n}$ по формуле (или вручную, прибавляя шаг).
4. Вычисли итоговую сумму. Подставь первое и последнее значения в формулу $S_{n} .$
5. Сделай проверку. Оцени результат на правдоподобность (мест в амфитеатре не может быть отрицательное число, а сумма кредита - не копейки).

Примеры решения

Рассмотрим задачи от самых простых к более типичным для реального варианта.

ПРИМЕР 1

Места в амфитеатре

Условие:
В амфитеатре $14$ рядов. В первом ряду $20$ мест, а в каждом следующем на $3$ места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в этом амфитеатре?

Решение:

1. Выпишем данные:

В первом ряду $20$ мест $⟹ a_{1} = 20 .$
В каждом следующем на $3$ больше $⟹ d = 3 .$
Всего $14$ рядов $⟹ n = 14 .$
2. Нам нужно найти общее количество мест, то есть сумму $S_{14} .$
3. Сначала узнаем, сколько мест в последнем, 14-м ряду:

a_{14} = 20 + 3 \cdot (14 - 1) = 20 + 3 \cdot 13 = 20 + 39 = 59

4. Теперь найдём сумму мест во всех рядах:

S_{14} = \frac{20 + 59}{2} \cdot 14 = \frac{79}{2} \cdot 14 = 79 \cdot 7 = 553

Ответ: $553$

Следующий пример - убывающая прогрессия. Принцип тот же, только $d$ отрицательное.

ПРИМЕР 2

Кладка брёвен в срубе

Условие:
Строитель укладывает брёвна в штабель: в нижнем ряду $30$ брёвен, и в каждом следующем ряду на $2$ бревна меньше, чем в предыдущем. Всего в штабеле $11$ рядов. Сколько брёвен в штабеле?

Третий сюжет - повторяющиеся операции (обмены). Формально это не прогрессия, но логика решения очень близка: находим, насколько меняется величина за один шаг.

ПРИМЕР 3

Погашение кредита

Условие:
Чтобы погасить кредит, клиент должен в первый месяц внести $5000$ рублей, а каждый следующий месяц вносить на $300$ рублей меньше, чем в предыдущий. Всего выплаты длятся $9$ месяцев. Сколько рублей всего заплатит клиент за весь срок?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали последний член с общей суммой

Ошибка: В задаче про кредит находят $a_{9} = 2600$ рублей и записывают это в ответ.

Правильно: $2600$ рублей - это платёж только за последний, 9-й месяц. А клиент платил все $9$ месяцев, поэтому ответ - это сумма $S_{n},$ а не последний член $a_{n} .$ Всегда возвращайся к вопросу: «что спрашивают - один платёж или весь итог?».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошиблись с количеством шагов

Ошибка: Используют формулу $a_{n} = a_{1} + d \cdot n$ вместо правильной $a_{n} = a_{1} + d (n - 1) .$ В итоге прибавляют лишний шаг.

Правильно: От первого этажа до пятого - $4$ лестничных пролёта, а не $5 .$ Чтобы перейти от $a_{1}$ к $a_{n},$ нужно сделать ровно $(n - 1)$ шагов.

Что запомнить

Фразы «каждый следующий на ... больше (меньше)» - признак арифметической прогрессии; «каждый следующий в ... раз больше» - признак геометрической.
Чтобы найти сумму, нужно знать значение на старте, значение на финише и количество шагов: $S = \frac{первое + последнее}{2} \cdot количество .$
В задачах на обмены (фишки, монеты, наклейки) смотри на чистое изменение за одну операцию.
Если формулы вылетели из головы, а шагов немного ( $5 - 12$ штук) - просто посчитай всё вручную столбиком.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 10-15 минут. Вычисления могут быть громоздкими.
Приоритет: это предпоследнее задание в варианте. Оставляй его на конец, когда все быстрые и простые задачи уже решены и перепроверены.
Самопроверка: если решение по формуле суммы дало красивый ответ, не поленись потратить 2 минуты и сверить его ручным сложением хотя бы двух-трёх первых слагаемых. Цена ошибки - $1$ первичный балл, а времени на экзамене достаточно.
Сигнал «геометрическая»: если в условии есть «в $2$ раза больше» вместо «на $2$ больше» - это уже другая прогрессия. Отличие на одно слово, а формула совсем другая: $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1} .$

Проверь себя0 из 4

1.В арифметической прогрессии

a_{1} = 20,

d = 3 .

Чему равен

a_{14} ?

2.Как найти сумму первых

n

членов арифметической прогрессии?

3.В штабеле

11

рядов: в нижнем

30

брёвен, в каждом следующем на

2

меньше. Сколько всего брёвен?

4.В условии сказано «каждый следующий месяц в

2

раза больше предыдущего». Какая это прогрессия?