Задачи на движение по воде — ЕГЭ база

Задачи на движение по воде (Задание 20)

Задачи на движение по воде - один из самых частых сюжетов текстовых задач базового ЕГЭ. Главное их отличие от обычного движения по шоссе в том, что у реки есть течение. Оно может как помогать двигаться, так и мешать. Кроме того, к этой категории относятся задачи на поиск средней скорости, где часть пути преодолевается по воде, а часть - по воздуху или суше.

Суть темы

Когда объект (лодка, катер, теплоход) плывёт по реке, его итоговая скорость зависит от двух факторов: собственной скорости (скорости в стоячей воде, например, в озере) и скорости течения реки.

Если в задаче упоминается плот, плот не имеет мотора - его собственная скорость равна нулю, он плывёт ровно со скоростью течения.

Для решения таких задач мы используем ту же базовую формулу движения $S = v \cdot t,$ но скорость $v$ берём с поправкой на воду.

Основные формулы

ВАЖНОЕ

Скорость по течению и против течения

По течению река помогает, скорости складываются:

v_{по} = v_{собст} + v_{теч}

Против течения река мешает, скорости вычитаются:

v_{против} = v_{собст} - v_{теч}

ВАЖНОЕ

Время хода по течению и против

При известном расстоянии $S :$

t_{по} = \frac{S}{v _{собст} + v _{теч}}, t_{против} = \frac{S}{v _{собст} - v _{теч}}

ВАЖНОЕ

Средняя скорость

Средняя скорость - это весь пройденный путь, разделённый на всё затраченное время.

v_{ср} = \frac{S _{общ}}{t _{общ}}

✓СОВЕТ

Про плот

Плот не имеет мотора, поэтому его собственная скорость равна нулю. Он плывёт ровно со скоростью течения: $v_{плот} = v_{теч} .$ Этим удобно пользоваться, если в задаче упомянут плот.

Алгоритм решения

Почти любую задачу на движение по воде можно решить с помощью таблицы. Это защитит от путаницы в цифрах.

АЛГОРИТМ

Как решать задачу с рекой

1. Нарисуй таблицу из трёх столбцов: $v$ (скорость), $t$ (время), $S$ (расстояние). Строки - это этапы пути (например, "Туда" и "Обратно").
2. Впиши известные данные. Заполни скорости, сложив или вычтя течение. Обозначь неизвестное за $x$ (обычно это расстояние или собственная скорость).
3. Вырази время. В столбец $t$ запиши дроби вида $\frac{S}{v} .$
4. Составь уравнение. Чаще всего уравнение строится вокруг времени. Например: Время "туда" + Время "обратно" = Общее время в пути минус стоянка.
5. Реши уравнение и перечитай вопрос. Проверь, что именно просят найти. Часто находят путь в одну сторону, а в ответе нужно указать путь туда-обратно.

Примеры решения

От простых ситуаций перейдём к классическим задачам, которые ждут тебя на экзамене.

ПРИМЕР 1

Средняя скорость

Турист переплыл озеро на катере со средней скоростью $20$ км/ч. Обратно он возвращался на автомобиле по дороге вдоль берега со скоростью $80$ км/ч. Найди среднюю скорость туриста на протяжении всего пути. Ответ дай в км/ч.

ПРИМЕР 2

Скорость течения по двум временам

Катер прошёл $36$ км по течению реки за $2$ часа, а обратно тот же путь против течения - за $3$ часа. Найди скорость течения реки. Ответ дай в км/ч.

ПРИМЕР 3

Поиск собственной скорости

Моторная лодка прошла против течения реки $48$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $2$ часа меньше, чем на путь против течения. Найди скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $2$ км/ч.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Средняя скорость - это не среднее арифметическое!

Ошибка: Вычислять среднюю скорость как $(v_{1} + v_{2}) : 2 .$ Например, для $20$ км/ч и $80$ км/ч получить ответ $50 .$
Правильно: Средняя скорость - это весь путь делить на всё время. Правильный ответ в такой задаче будет $32,$ так как большую часть времени турист плыл медленно, и это сильно занижает среднюю скорость.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путают "по" и "против"

Ошибка: Складывают скорость течения с собственной, когда лодка идёт против течения, или вычитают - когда по течению. Особенно легко запутаться, если сюжет задачи начинается с обратного пути.
Правильно: По течению = $v_{собст} + v_{теч}$ (быстрее), против = $v_{собст} - v_{теч}$ (медленнее). Если не уверен - спроси себя: "Река помогает или мешает?". По течению помогает -> прибавляем.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вопрос про весь путь

Ошибка: Найти расстояние между пунктами (путь в одну сторону) и радостно вписать его в бланк.
Правильно: Внимательно читать вопрос. Если спрашивают про "весь рейс", нужно умножить найденное расстояние на $2 .$

Что запомнить

Скорость течения прибавляется, если плывём по течению, и вычитается, если плывём против.
Плот всегда движется со скоростью течения: $v_{плот} = v_{теч} .$
Таблица $v, t, S$ - твой лучший друг. Всегда выражай время как дробь $\frac{S}{v} .$
Уравнение строится на том, что мы знаем про время (сумма времён равна времени в движении, или разность времён равна задержке).
Средняя скорость - это весь путь делить на всё время. Никаких средних арифметических.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 10-15 минут. Номер 20 - одна из самых трудоёмких задач экзамена.
Приоритет: возьмись за него после блоков 1-17, когда голова уже разогрета, но до задач 19 и 21. Не первый и не последний.
Переформулируй вопрос. Прежде чем писать уравнение, отметь в условии галочкой, что именно требуют: скорость течения, собственную скорость, расстояние в одну сторону или весь рейс.
Складывай и вычитай уравнения. Если в таблице стоят $v_{собст} + v_{теч}$ и $v_{собст} - v_{теч}$ - сложение даёт $2 v_{собст},$ вычитание $2 v_{теч} .$ Часто экономит половину алгебры.
Самопроверка: подставь ответ обратно в условие и проверь, что времена и расстояния сходятся.

Проверь себя0 из 4

1.Собственная скорость катера

15

км/ч, скорость течения

3

км/ч. Какова скорость катера против течения?

2.С какой скоростью плывёт плот по реке, если скорость течения равна

4

км/ч?

3.Турист проплыл путь со скоростью

20

км/ч, а вернулся со скоростью

80

км/ч. Чему равна его средняя скорость?

4.Катер прошёл

36

км по течению за

2

ч, а обратно — за

3

ч. Скорость течения равна: