Задачи на движение по прямой — ЕГЭ база

Задачи на движение по прямой (Задание 20)

Задание 20 ЕГЭ-база - текстовая задача на движение, проценты, смеси или работу. В этом конспекте разбираем один из самых частых сюжетов номера: движение по прямой. Сюда относятся встречное движение, движение вдогонку, средняя скорость и задачи с несколькими участками пути.

Суть темы и основные формулы

Любая задача на движение опирается на три величины: пройденный путь ( $S$ ), скорость ( $v$ ) и время ( $t$ ). Одна формула связывает их все.

ВАЖНОЕ

Основная формула движения

S = v \cdot t

Отсюда легко выразить остальные величины:
$v = \frac{S}{t}$ и $t = \frac{S}{v}$

Если в задаче двигаются одновременно два объекта, важна не каждая скорость по отдельности, а скорость их сближения или удаления.

ВАЖНОЕ

Скорости сближения и удаления

Встречное движение (идут навстречу): $v_{сбл} = v_{1} + v_{2}$

Движение вдогонку (быстрый догоняет медленного): $v_{сбл} = v_{1} - v_{2},$ где $v_{1}$ - скорость догоняющего, $v_{2}$ - скорость того, кого догоняют.

Читай ось X как время, ось Y как пройденный путь: m и n - скорости участников, p и q - их старт. Точка пересечения даёт момент и место встречи, и смысл имеет только правая половина, где время положительно.

Алгоритм решения

В задачах на движение (особенно когда путь состоит из нескольких участков или участников двое) надёжнее всего работает табличный метод.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через таблицу

1. Нарисуй таблицу из трёх столбцов: $v,$ $t$ и $S .$ Каждая строка - отдельный участник движения или отдельный участок пути.
2. Заполни таблицу. Впиши все известные числа. Если что-то неизвестно, обозначь через $x .$ Третью колонку всегда вычисляй по формуле (если знаешь $v$ и $t,$ то $S = v \cdot t$ ).
3. Найди связь. В условии всегда есть фраза, связывающая строки: "приехали одновременно" ( $t_{1} = t_{2}$ ), "расстояния равны" ( $S_{1} = S_{2}$ ), "общее время 5 часов" ( $t_{1} + t_{2} = 5$ ).
4. Составь и реши уравнение. Подставь выражения из таблицы в найденную связь.
5. Проверь ответ на здравый смысл. Скорость пешехода - около $4 - 6$ км/ч, автомобиля - $60 - 100$ км/ч.

Примеры разбора задач

Три классических сюжета базового ЕГЭ: средняя скорость, встречное движение с разворотом и движение вдогонку.

Сюжет 1: Средняя скорость

В задачах на среднюю скорость нужно найти средний темп движения на всём маршруте. Здесь кроется главная ловушка номера: среднюю скорость нельзя искать как среднее арифметическое скоростей на участках.

Горизонтальная схема маршрута из трёх последовательных участ

ПРИМЕР 1

Условие:
Автобус едет из одного города в другой тремя участками. Первые $80$ км по трассе - со скоростью $80$ км/ч, следующие $60$ км по просёлочной дороге - со скоростью $40$ км/ч, последние $90$ км - со скоростью $60$ км/ч. Найди среднюю скорость автобуса на всём пути. Ответ дай в км/ч.

Решение:
Средняя скорость - это весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время.

1. Общее расстояние:

S_{общ} = 80 + 60 + 90 = 230 км

2. Время на каждом участке ( $t = \frac{S}{v}$ ):
$t_{1} = \frac{80}{80} = 1$ ч
$t_{2} = \frac{60}{40} = 1, 5$ ч
$t_{3} = \frac{90}{60} = 1, 5$ ч

3. Общее время:

t_{общ} = 1 + 1, 5 + 1, 5 = 4 ч

4. Средняя скорость:

v_{ср} = \frac{S _{общ}}{t _{общ}} = \frac{230}{4} = 57, 5 км / ч

Ответ: $57, 5$

Сюжет 2: Встреча с возвратом

Иногда один из участников доезжает до конечной точки, разворачивается и встречает второго уже на обратном пути. Здесь помогает аккуратная схема.

ПРИМЕР 2

Условие:
Из посёлка одновременно в сторону города, находящегося в $45$ км, выехали велосипедист со скоростью $15$ км/ч и автомобилист со скоростью $60$ км/ч. Доехав до города, автомобилист сразу с той же скоростью поехал обратно. На каком расстоянии от посёлка он встретит велосипедиста? Ответ дай в километрах.

Сюжет 3: Движение вдогонку

Здесь один участник уже в пути, а второй стартует позже и догоняет. Удобно заводить "ноль времени" в момент старта догоняющего и пользоваться таблицей.

ПРИМЕР 3

Условие:
С автовокзала в сторону загородного лагеря вышел рейсовый автобус со скоростью $60$ км/ч. Через $30$ минут следом за ним выехал легковой автомобиль со скоростью $90$ км/ч. На каком расстоянии от автовокзала автомобиль догонит автобус? Ответ дай в километрах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Средняя скорость через среднее арифметическое

Ошибка: В Примере 1 сложить скорости и разделить на три: $\frac{80 + 40 + 60}{3} = 60$ км/ч.

Правильно: Средняя скорость $\neq =$ среднее арифметическое. Всегда: весь путь, делённый на всё время. В Примере 1 получается $57, 5,$ а не $60 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Одинаковое время для разных моментов старта

Ошибка: В задачах вдогонку записывают одинаковое время для обоих участников и забывают, что один стартовал раньше.

Правильно: Если один выехал на $Δ$ часов раньше, его время в пути равно $t_{догоняющего} + Δ .$ Всегда фиксируй в таблице, от какого момента ведёшь отсчёт.

Что запомнить

Главная формула: $S = v \cdot t .$
Встречное движение: скорости складываются.
Движение вдогонку: скорости вычитаются (большая минус меньшая).
Когда один доехал до финиша и развернулся, до момента встречи оба суммарно проходят удвоенный маршрут.
Средняя скорость = весь путь / всё время. Не среднее арифметическое.
Единицы должны совпадать: км/ч vs м/с, часы vs минуты.

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 15 минут. Задание 20 - одно из самых трудоёмких в базовом ЕГЭ.
Приоритет: решай после быстрых номеров (1-17), когда уже собраны очевидные баллы.
Табличный метод: выписывай "дано" в виде таблицы с тремя столбцами - это снимает большую часть ошибок при постановке уравнения.
Самопроверка: подставь полученный ответ обратно в условие и убедись, что расстояния и время у всех участников сходятся.

Проверь себя0 из 4

1.Два пешехода идут навстречу друг другу со скоростями

4

км/ч и

5

км/ч. С какой скоростью они сближаются?

2.Автомобиль догоняет автобус. Скорость автомобиля

90

км/ч, автобуса

60

км/ч. Скорость сближения равна:

3.Велосипедист проехал

10

км со скоростью

10

км/ч и ещё

10

км со скоростью

30

км/ч. Его средняя скорость на всём пути:

4.Поезд ехал

45

минут. Сколько это в часах?