Вычисление значений тригонометрических… — ЕГЭ база

Вычисление значений тригонометрических выражений

В задании 16 ЕГЭ базового уровня часто встречаются два сюжета. Первый: дано выражение с табличными углами ( $3 0^{\circ},$ $4 5^{\circ},$ $6 0^{\circ},$ $9 0^{\circ}$ ) - нужно подставить значения и посчитать. Второй: известна одна функция (например, синус), найти нужно другую (косинус или тангенс). Чтобы с этим справиться, достаточно таблицы углов и одной ключевой формулы - основного тригонометрического тождества.

Суть темы

Главная идея опирается на единичную окружность и теорему Пифагора, которая в тригонометрии превращается в основное тригонометрическое тождество. Если возвести синус угла в квадрат и прибавить квадрат косинуса того же угла, всегда получится единица. Зная эту связь, можно как по цепочке распутывать любые значения. Единственная сложность - правильно определить знак результата (плюс или минус). За знак отвечает координатная четверть, в которой находится угол.

Единичная окружность с табличными углами

Потяни ползунок угла θ: посмотри, как меняются синус (высота точки) и косинус (её сдвиг по горизонтали).

Основные формулы и факты

Для этой темы нужно помнить таблицу углов и две формулы.

ВАЖНОЕ

Таблица значений для углов

3 0^{\circ},

4 5^{\circ},

6 0^{\circ}

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \displaystyle \hline \alpha & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\ \displaystyle \hline \sin\alpha & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \displaystyle \hline \cos\alpha & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} \\ \displaystyle \hline \tg\alpha & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} \\ \displaystyle \hline \end{array}

При $9 0^{\circ} :$ $sin 9 0^{\circ} = 1,$ $cos 9 0^{\circ} = 0,$ тангенс не определён.

ВАЖНОЕ

Основное тригонометрическое тождество

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Из него можно выразить квадрат любой функции:
$sin^{2} α = 1 - cos^{2} α$
$cos^{2} α = 1 - sin^{2} α$

ВАЖНОЕ

Тангенс через синус и косинус

t g α = \frac{sin α}{cos α}

Чтобы выбрать правильный знак при извлечении корня, нужно посмотреть на интервал, которому принадлежит угол $α,$ и вспомнить знаки функций по четвертям.

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Алгоритм решения

Задачи этого типа решаются по единому прямолинейному шаблону.

АЛГОРИТМ

Как найти функцию по известной

1. Возведи в квадрат известное значение. Если там есть корень и минус - минус исчезнет, а корень "снимется".
2. Найди квадрат неизвестной функции, вычтя из единицы полученное число (по основному тождеству).
3. Извлеки корень. Обязательно запиши два варианта: с плюсом и с минусом!
4. Выбери знак. Посмотри на градусы в условии, определи координатную четверть и оставь тот знак, который имеет искомая функция в этой четверти.
5. Для поиска тангенса (если просят его) выполни дополнительный шаг: раздели найденный синус на найденный косинус.

✓СОВЕТ

Пугающие корни сократятся

В задачах на поиск тангенса в условии часто дают синус или косинус с "некрасивым" корнем в знаменателе (например, $29$ или $61$ ). Не пугайся! При делении синуса на косинус эти знаменатели полностью сократятся, и в ответе получится аккуратное число.

Примеры решения

Разберём задачи от самой простой (подстановка табличных значений) до поиска тангенса с учётом знака.

ПРИМЕР 1

Подстановка табличных значений

Вычисли значение выражения $4 sin 3 0^{\circ} + 2 cos 6 0^{\circ} .$

Решение:

1. Посмотри в таблицу. $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2},$ $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} .$
2. Подставь значения:

4 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 1 = 3

Ответ: $3$

ПРИМЕР 2

Поиск косинуса с отрицательным синусом

Найди $cos α,$ если $sin α = - \frac{51}{10}$ и $27 0^{\circ} < α < 36 0^{\circ} .$

ПРИМЕР 3

Поиск тангенса

Найди $t g α,$ если $sin α = \frac{2}{29}$ и $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки при возведении в квадрат

Ошибка: При возведении в квадрат дроби с корнем и минусом пишут $(- \frac{7}{4})^{2} = - \frac{7}{16}$ или возводят только числитель: $\frac{7}{4} .$

Правильно: Квадрат "сжигает" минус. А возводить в квадрат нужно и числитель, и знаменатель. Правильный результат: $+ \frac{7}{16} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака при извлечении корня

Ошибка: Нашли $cos^{2} α = 0, 64,$ сразу пишут $cos α = 0, 8,$ забывая про координатную четверть.

Правильно: Из уравнения $x^{2} = 0, 64$ всегда выходит два корня: $x = 0, 8$ и $x = - 0, 8 .$ Чтобы выбрать один из них, обязательно смотри на диапазон градусов, данный в задаче!

Что запомнить

Шаг 1: Квадрат известной функции. Отрицательные числа станут положительными.
Шаг 2: Единица минус этот квадрат.
Шаг 3: Извлечение корня с оглядкой на градусы.
- I четверть ( $0^{\circ} - 9 0^{\circ}$ ): все с плюсом.
- II четверть ( $9 0^{\circ} - 18 0^{\circ}$ ): синус с плюсом, косинус и тангенс с минусом.
- III четверть ( $18 0^{\circ} - 27 0^{\circ}$ ): тангенс с плюсом, синус и косинус с минусом.
- IV четверть ( $27 0^{\circ} - 36 0^{\circ}$ ): косинус с плюсом, синус и тангенс с минусом.
При поиске тангенса "страшные" корни в знаменателях всегда сокращаются.
Табличные значения для $3 0^{\circ},$ $4 5^{\circ},$ $6 0^{\circ}$ нужно знать наизусть.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 5-7 минут на задание 16.
Если в выражении табличные углы ( $3 0^{\circ},$ $4 5^{\circ},$ $6 0^{\circ},$ $9 0^{\circ}$ ) - смело подставляй значения из таблицы, раскрой скобки, посчитай.
Если дан интервал и одна функция - сразу выпиши интервал отдельно, определи четверть и знак искомой функции до вычислений. Это убережёт от потери минуса на последнем шаге.
Быстрая проверка. Подставь найденное значение обратно: $sin^{2} α + cos^{2} α$ должно быть ровно $1 .$
Если не получается аккуратный ответ - скорее всего, ошибка в квадрате дроби или в знаке. Перепроверь эти два места.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

sin 3 0^{\circ} ?

2.Известно, что

cos^{2} α = 0, 36

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ} .

Чему равен

cos α ?

3.Какой знак имеет тангенс в III четверти (

18 0^{\circ} < α < 27 0^{\circ}

4.Чему равно

(- \frac{51}{10})^{2} ?