Задание 16: Вычисления и преобразования — ЕГЭ база

Задание 16. Вычисления и преобразования

Задание 16 проверяет умение работать с основными математическими функциями: степенями, корнями, логарифмами и тригонометрией. Это чисто техническое задание - не нужно составлять уравнение по тексту, нужно просто аккуратно применить формулу и довести выражение до числа.

Ответ - целое число или конечная десятичная дробь.

Какие темы встречаются

В этом задании собрана почти вся школьная алгебра, но пугаться не стоит: большинство задач решается в одно-два действия. Вот как распределяются темы:

Логарифмы (около 60%) - самая частая тема. Сложение, вычитание логарифмов и вынесение степени.
Степени (около 34%) - умножение и деление степеней, возведение степени в степень. Часто нужно привести всё к одному основанию.
Тригонометрия (около 5%) - основное тригонометрическое тождество и формулы приведения.
Корни (около 1%) - формула разности квадратов и базовые свойства квадратного корня.

Общий алгоритм решения

Почти любая задача этого номера решается по одному шаблону.

АЛГОРИТМ

Как решать задание 16

1. Определи тип выражения. Посмотри, что перед тобой: логарифмы, степени, корни или синусы и косинусы.
2. Найди нужную формулу. Если не помнишь наизусть - загляни в справочные материалы.
3. Приведи к общему основанию. Это главный приём. В степенях делай одинаковые "низы" (например, $4$ и $8$ превращай в двойки: $2^{2}$ и $2^{3}$ ). В логарифмах тоже ищи одинаковые основания.
4. Упрости выражение. Выполни действия по формулам (сложи показатели, перемножь аргументы и так далее).
5. Вычисли итоговое число. Избавься от логарифма или степени, чтобы в ответе осталось только число.

Примеры решения

Разберём самые популярные сюжеты: логарифмы, степени и немного тригонометрии.

ВАЖНОЕ

Сложение логарифмов

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x \cdot y)

ПРИМЕР 1

Логарифмы с одинаковым основанием

Условие:
Найдите значение выражения $lo g_{5} 12, 5 + lo g_{5} 2 .$

Решение:
1. Перед нами сумма двух логарифмов с одинаковым основанием $5 .$
2. Применяем формулу: сумма логарифмов равна логарифму произведения.

lo g_{5} 12, 5 + lo g_{5} 2 = lo g_{5} (12, 5 \cdot 2)

3. Считаем то, что получилось в скобках: $12, 5 \cdot 2 = 25 .$

lo g_{5} 25

4. Вспоминаем определение логарифма: в какую степень нужно возвести $5,$ чтобы получить $25 ?$ В квадрат. Значит, $lo g_{5} 25 = 2 .$

Ответ: $2$

ВАЖНОЕ

Свойство степеней

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\frac{a ^{n}}{a ^{m}} = a^{n - m}

ПРИМЕР 2

Деление степеней с разными основаниями

Условие:
Найдите значение выражения $\frac{9 ^{6}}{3 ^{10}} .$

Иррациональные выражения встречаются реже всего, но приём узнаваемый - почти всегда это формула разности квадратов.

ВАЖНОЕ

Разность квадратов

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Для корней это удобно: $(m - n) (m + n) = m - n .$

Например, $(10 - 3) (10 + 3) = 10 - 3 = 7$ - никаких корней в ответе не остаётся.

Тригонометрия встречается редко, но обычно сводится к одной главной формуле.

ВАЖНОЕ

Основное тригонометрическое тождество

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

ПРИМЕР 3

Поиск синуса по косинусу

Условие:
Найдите $sin α,$ если $cos α = 0, 8$ и $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сумма логарифмов - не логарифм суммы

Ошибка: Записывать $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 8 = lo g_{2} (4 + 8) = lo g_{2} 12 .$

Правильно: Сумма логарифмов - это логарифм произведения:

lo g_{2} 4 + lo g_{2} 8 = lo g_{2} (4 \cdot 8) = lo g_{2} 32 = 5

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Умножение показателей вместо сложения

Ошибка: При умножении чисел с одинаковыми основаниями перемножать показатели: $2^{3} \cdot 2^{4} \neq = 2^{12} .$

Правильно: При умножении показатели складываются: $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{3 + 4} = 2^{7} = 128 .$ Перемножаются показатели при возведении степени в степень: $(2^{3})^{4} = 2^{12} .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 7 минут.
Приоритет: высокий. Задание стоит решать в первой половине экзамена, сразу после простых практических задач.
Лайфхак: не пытайся возводить большие числа в большие степени (например, считать $4^{8}$ или $9^{6}$ столбиком). Если получаются гигантские числа - скорее всего, пропущен шаг с приведением к общему основанию.
Подстраховка: держи перед собой лист со справочными материалами (он выдаётся вместе с КИМом). Все правила работы со степенями и логарифмами там есть - нужно просто аккуратно сопоставить формулу со своим примером.
Проверка: если ответ не целый и не "простой" десятичной дробью - вернись и пересчитай, скорее всего где-то ошибка в показателе или знаке.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

lo g_{3} 4, 5 + lo g_{3} 2 ?

2.Чему равно

\frac{4 ^{5}}{2 ^{8}} ?

3.Известно, что

cos α = 0, 6

0^{\circ} < α < 9 0^{\circ} .

Чему равен

sin α ?

4.Как упростить

2^{5} \cdot 2^{3} ?