Цилиндр

Цилиндр (Задание 13)

В задании 13 базового ЕГЭ по математике проверяется знание стереометрии - геометрии в пространстве. Часто в этом номере встречаются задачи на цилиндр: нужно найти его объём, площадь поверхности или сравнить два разных цилиндра.

Цилиндр - это объёмная фигура, которую легко представить в виде консервной банки, стакана, отрезка трубы или бочки. У него есть два одинаковых плоских основания (круги) и боковая поверхность, которая их соединяет.

Основные формулы

В базовом ЕГЭ рассматриваются только прямые круговые цилиндры. Все вычисления строятся вокруг двух главных параметров: радиуса основания ($R$) и высоты ($H$).

Так как в основании цилиндра лежит круг, полезно помнить его площадь: $S_{\text{круга}}=\pi R^2\text{.}$

Алгоритм решения задач на сравнение

Задачи, где даны два цилиндра и нужно узнать, во сколько раз площадь или объём одного больше другого, встречаются на экзамене чаще всего. Для них есть удобный метод.

Примеры решения задач

Разберём три типичные задачи: от простой подстановки в формулу до классической задачи на переливание жидкости из одного стакана в другой.

Частые ошибки

Что запомнить

• Радиус $R$ и высота $H$ - два ключа к любой задаче на цилиндр.

• Формула объёма содержит $R$ в квадрате: $V=\pi R^{2}H\text{.}$

• Формула боковой поверхности без квадрата, но с двойкой: $S_{\text{бок}}=2\pi RH\text{.}$

• Полная поверхность - боковая плюс два круглых основания: $S_{\text{полн}}=2\pi R(R+H)\text{.}$

• При сравнении двух цилиндров не перемножай всё сразу, записывай дробь и сокращай $\pi$ и общие числа.

• При переливании жидкости её объём остаётся неизменным. Если сосуд становится в $3$ раза шире (по радиусу), уровень воды падает в $9$ раз (так как радиус в формуле объёма возводится в квадрат).

Стратегия на экзамене