Задание 13: Задачи по стереометрии — ЕГЭ база

О задании 13

Задание 13 в базовом ЕГЭ по математике - это задача по стереометрии. В отличие от задания 11, где часто встречаются составные многогранники или задачи "на переливание воды", тринадцатый номер обычно проверяет умение работать с круглыми телами (конусом, цилиндром, шаром) и базовыми многогранниками (параллелепипедом, призмой).

Здесь проверяется прямое знание формул площадей и объёмов, а также понимание того, как эти величины меняются, если изменить размеры фигуры.

Ответ всегда - целое число или конечная десятичная дробь. Если в задаче фигурирует число $π,$ оно обязательно сократится в процессе решения.

Какие темы встречаются

В банке заданий преобладают следующие типы фигур (от самых частых к более редким):

1. Прямоугольный параллелепипед и куб (около 40% задач) - поиск площади полной поверхности по трём измерениям или объёма. Часто в условии уже приведена готовая формула $S = 2 (ab + a c + b c)$ - остаётся только подставить числа.
2. Конус (около 30% задач) - поиск высоты или радиуса, если известен объём. Может фигурировать диагональ осевого сечения или длина образующей.
3. Цилиндр (около 10-15% задач) - сравнение площадей боковой поверхности или объёмов двух цилиндров с разными размерами.
4. Прямая призма (около 10-15% задач) - базовая формула объёма $V = S_{осн} \cdot h,$ обычно для правильной треугольной или четырёхугольной призмы.
5. Шар (встречается реже) - сравнение площадей поверхности или объёмов двух шаров с разными радиусами.

Ключевые формулы

Для уверенного решения достаточно запомнить формулы полной поверхности и объёма основных тел.

ВАЖНОЕ

Прямоугольный параллелепипед

V = ab c S_{полн} = 2 (ab + a c + b c)

где $a,$ $b,$ $c$ - длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Для куба: $V = a^{3},$ $S_{полн} = 6 a^{2} .$

ВАЖНОЕ

Круглые тела

V_{цил} = π R^{2} h, S_{бок, цил} = 2 π R h

V_{кон} = \frac{1}{3} π R^{2} h, S_{бок, кон} = π R l

V_{шар} = \frac{4}{3} π R^{3}, S_{шар} = 4 π R^{2}

Здесь $R$ - радиус основания (или самого шара), $h$ - высота, $l$ - образующая конуса.

Общий алгоритм решения

Задачи этого номера можно разделить на два основных типа. Для каждого нужен свой подход.

АЛГОРИТМ

Алгоритм: Прямое вычисление по формуле

1. Прочитай условие и чётко определи, о какой фигуре идёт речь (конус, призма, шар и т.д.).
2. Найди нужную формулу в справочных материалах (или вспомни её).
3. Подставь известные числа в формулу. Если известна итоговая величина (например, дан объём, а найти нужно высоту) - составь простое уравнение.
4. Реши уравнение и найди неизвестный элемент.

АЛГОРИТМ

Алгоритм: Сравнение двух фигур

1. Внимательно прочитай, что нужно сравнить: объёмы ( $V$ ) или площади боковой поверхности ( $S_{бок}$ ).
2. Запиши формулу для первой фигуры и подставь её размеры. Букву $π$ подставлять как $3, 14$ не нужно, оставь её в виде буквы.
3. Запиши ту же формулу для второй фигуры со своими размерами.
4. Раздели бóльшую величину на меньшую. Буква $π$ и другие общие множители сократятся, останется только число.

Примеры решений

Рассмотрим две типичные задачи из разных подтем: прямое вычисление для параллелепипеда и поиск неизвестного элемента у конуса.

ПРИМЕР 1

Площадь поверхности параллелепипеда

Условие:
Найди площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $2,$ $6$ и $7 .$

Прямоугольный параллелепипед с подписанными рёбрами

ПРИМЕР 2

Поиск высоты конуса через объём

Условие:
Объём конуса равен $24 π,$ а радиус его основания равен $6 .$ Найди высоту конуса.

Конус с известным радиусом и неизвестной высотой

Частые ошибки

В этом задании баллы чаще всего теряют не из-за незнания геометрии, а из-за невнимательности при чтении условия.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между радиусом и диаметром

Ошибка: в условии дан диаметр шара, равный $10,$ а в формулу подставлено $R = 10 .$

Правильно: все формулы в справочных материалах используют радиус. Если в условии диаметр, сначала раздели его на 2: $R = \frac{D}{2} = 5 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытая треть в конусе

Ошибка: объём конуса вычислен по формуле $V = π R^{2} h$ - результат в 3 раза больше правильного.

Правильно: у остроконечных фигур (конус, пирамида) в формуле объёма всегда есть множитель $\frac{1}{3} .$ Сверяйся со справочными материалами перед подстановкой.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 8 минут.
Когда решать: задание решай в первом круге - оно не требует сложных размышлений, а формулы есть в справочных материалах.
Проверка на $π :$ если в ответе осталась буква $π$ - это признак ошибки. В базовом ЕГЭ ответ - "чистое" число. Значит, $π$ должна была сократиться (при сравнении фигур или при подстановке объёма вида $24 π$ ).
Черновик: рисуй эскиз фигуры и подписывай данные из условия прямо на чертеже. Это спасает от ошибки "подставил высоту вместо радиуса" и от путаницы диаметра с радиусом.
Справочник: перед тем как решать, найди нужную формулу на листе со справочными материалами. Это экономит время и исключает ошибку в самой формуле.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна площадь полной поверхности куба с ребром

3 ?

2.Объём конуса равен

12 π,

радиус основания равен

2 .

Чему равна высота?

3.Радиус шара увеличили в

3

раза. Во сколько раз увеличился его объём?

4.В условии дан диаметр цилиндра, равный

8 .

Что нужно подставить в формулу

V = π R^{2} h

вместо

R ?