Цифровая запись числа

Цифровая запись числа и признаки делимости (Задание 19)

Задание 19 в ЕГЭ по математике базового уровня - это задача-головоломка. В ней не дают готовых уравнений, а просят собрать число, как конструктор, по определённым правилам. Чаще всего требуется найти какое-нибудь одно число, которое подходит под все условия. Искать все варианты не нужно - достаточно найти один правильный.

Суть темы

Различай два понятия: цифра и число.

• Цифры - это значки $0,1,2,\dots ,9\text{.}$ Их всего десять.
• Числа составляются из цифр. Например, $2026$ - четырёхзначное число из цифр $2\text{,}$ $0\text{,}$ $2\text{,}$ $6\text{.}$

Любое натуральное число можно разложить по разрядам - это и есть его десятичная запись.

Вторая важнейшая часть темы - признаки делимости. Без них решить задание 19 почти невозможно.

Основные признаки делимости

Тебе нужно помнить базовые правила, по которым можно узнать, делится ли число нацело, не выполняя само деление в столбик.

1. На 2: число оканчивается на чётную цифру ($0,2,4,6,8$).
2. На 5: число оканчивается на $0$ или $5\text{.}$
3. На 10: число оканчивается на $0\text{.}$
4. На 3: сумма всех цифр числа делится на $3\text{.}$ (Например, $168\text{:}$ $1+6+8=15\text{,}$ делится на $3$).
5. На 9: сумма всех цифр числа делится на $9\text{.}$
6. На 4: число, составленное из двух последних цифр, делится на $4\text{.}$ (Например, $1524$ делится на $4\text{,}$ так как $24$ делится на $4$).

Но в ЕГЭ часто просят проверить делимость на числа вроде $12,15,18$ или $45\text{.}$ Для них работает специальное правило.

Как это применять:

• Чтобы число делилось на $12$, оно должно одновременно делиться на $3$ и на $4$ (брать $2$ и $6$ нельзя, так как они оба делятся на $2$).
• Чтобы число делилось на $15$, оно должно делиться на $3$ и на $5$.
• Чтобы число делилось на $45$, оно должно делиться на $5$ и на $9$.
• Чтобы число делилось на $18$, оно должно делиться на $2$ и на $9$.

Алгоритм решения

В задачах на поиск числа действует метод «от сильного ограничения к слабому».

Примеры решения

Разберём три самых частых сюжета: вычёркивание цифр, конструирование числа по свойствам цифр и работу с остатками.

Частые ошибки

Что запомнить

• Число кратно $15$ $⟺$ оканчивается на $0$ или $5$ И сумма цифр делится на $3\text{.}$
• Число кратно $45$ $⟺$ оканчивается на $0$ или $5$ И сумма цифр делится на $9\text{.}$
• Число кратно $12$ $⟺$ две последние цифры образуют число, делящееся на $4$ И сумма цифр делится на $3\text{.}$
• Если задача на остатки (остаток $R$ при делении на $A,B,C$) - найди общее кратное для делителей и прибавь к нему этот остаток $R\text{.}$
• В ответ вписывай только одно число, даже если подходят несколько вариантов.

Стратегия на экзамене