О задании 19: Числа и их свойства

Задание 19 - логическая задача на конструирование чисел. Не требуются ни сложные уравнения, ни графики: задание проверяет понимание устройства чисел и знание признаков делимости.

Ответ всегда целое число. Фраза «в ответе укажите какое-нибудь одно такое число» означает, что правильных ответов несколько и достаточно найти любой.

Какие темы встречаются

В банке ФИПИ все задачи номера 19 сводятся к подтеме «Цифровая запись числа», но внутри встречаются три основных сюжета:

Конструирование числа: собрать число из цифр по заданным правилам (кратно $12,$ все цифры чётные и т. п.).
Вычёркивание цифр: из длинного числа вычеркнуть несколько цифр, чтобы оставшееся делилось на заданное (сюжет демоверсии).
Делимость с остатком: найти число, которое при делении на несколько чисел даёт одинаковый остаток.

За названием подтемы стоит главная идея: число полностью задаётся своими цифрами и их позициями. Двузначное - $\overline{ab} = 10 a + b,$ трёхзначное - $\overline{ab c} = 100 a + 10 b + c .$ Черта сверху означает, что $a, b, c$ - именно цифры от $0$ до $9,$ а не произведение. На экзамене напрямую работать с такой записью не придётся, но она объясняет все признаки делимости.

Разрядная запись числа

\overline{ab} = 10 a + b

\overline{ab c} = 100 a + 10 b + c

\overline{ab c d} = 1000 a + 100 b + 10 c + d

Здесь $a$ - старшая цифра (не ноль), остальные - любые цифры от $0$ до $9 .$

Для успешного решения абсолютно необходимо знать признаки делимости.

Признаки делимости

На 2: последняя цифра - одна из ${0; 2; 4; 6; 8} .$
На 5: последняя цифра $0$ или $5 .$
На 10: последняя цифра $0 .$
На 4: две последние цифры образуют число, кратное $4$ (например, $\dots 32 :$ $32 = 4 \cdot 8$ ).
На 3: сумма всех цифр делится на $3 .$
На 9: сумма всех цифр делится на $9 .$
На 25: две последние цифры - $00,$ $25,$ $50$ или $75 .$

Если число должно делиться на составное число (например, на $6,$ $12,$ $15$ или $22$ ), разбей его на два взаимно простых множителя:

Делится на 6 $⟺$ делится на 2 и на 3.
Делится на 12 $⟺$ делится на 3 и на 4.
Делится на 15 $⟺$ делится на 3 и на 5.
Делится на 22 $⟺$ делится на 2 и на 11.

Разбивать можно только на взаимно простые

Разложить $12 = 6 \cdot 2$ и потом требовать делимость на $6$ и на $2$ по отдельности - ошибка: $6$ и $2$ имеют общий множитель $2,$ и признак перестаёт работать (например, $18$ делится на $2$ и на $6,$ но не на $12$ ). Всегда выбирай пару чисел без общих делителей: $12 = 3 \cdot 4,$ $15 = 3 \cdot 5,$ $22 = 2 \cdot 11 .$

Общий алгоритм решения

Задачи этого типа решаются методом логического перебора. Не пугайся слова «перебор» - если применять признаки делимости, перебирать придётся всего 3-4 варианта.

Алгоритм конструирования числа

1. Выпиши все ограничения. Сколько цифр, в каком интервале лежит число, на что делится, какие цифры допустимы (различны, чётные, без нуля).
2. Разложи составные делители на взаимно простые множители. $12 = 3 \cdot 4,$ $15 = 3 \cdot 5,$ $36 = 4 \cdot 9,$ $72 = 8 \cdot 9 .$ Получишь простые признаки для проверки.
3. Зафиксируй крайние цифры. Первую цифру (или первые две) обычно задаёт интервал. Последнюю - признаки делимости на $2,$ $4,$ $5$ или $25 .$
4. Заполни середину подбором. Оставшиеся цифры подбирай так, чтобы выполнилось правило суммы (делимость на $3$ или $9$ ).
5. Сделай финальную проверку. Прогони число по каждому пункту условия. Особенно - по словам «различны», «чётные», «больше ... меньше ...».

Примеры решения

Рассмотрим задачу на конструирование числа с ограничениями по интервалу.

Пример 1. Конструирование по интервалу и делимости

Условие:
Найди четырёхзначное натуральное число, большее $6100,$ но меньшее $6400,$ которое делится на $36$ и сумма цифр которого равна $18 .$ В ответе укажи какое-нибудь одно такое число.

Показать решение

Пойдём по шагам алгоритма.

Шаг 1. Ограничения.

$6100 < x < 6400,$ значит $x = \overline{61 b c},$ $\overline{62 b c}$ или $\overline{63 b c} .$
$x$ делится на $36 .$
Сумма цифр равна $18 .$

Шаг 2. Разложение делимости на $36 .$
$36 = 4 \cdot 9$ (множители взаимно простые). Значит, нужно одновременно:

делимость на $4 :$ две последние цифры образуют число, кратное $4;$
делимость на $9 :$ сумма цифр кратна $9$ - это выполняется автоматически, так как сумма равна $18 = 9 \cdot 2 .$

Шаг 3. Подбор оставшихся цифр.
Возьмём случай $x = \overline{62 b c} .$ Тогда $6 + 2 + b + c = 18,$ то есть $b + c = 10 .$

Пары цифр с суммой $10 :$ $(1; 9), (2; 8), (3; 7), (4; 6), (5; 5)$ и обратные. Нужна такая, чтобы $\overline{b c}$ делилось на $4 .$ Пара $(b; c) = (2; 8)$ даёт $28 = 4 \cdot 7$ - подходит.

Шаг 4. Проверка.
Число $6228 :$ сумма цифр $18$ (делится на $9$ ), последние две $28$ делятся на $4 .$ Значит, $6228$ делится на $36 :$ $6228 : 36 = 173 .$ Входит в интервал $(6100; 6400) .$

Ответ: $6228$ (подошло бы также $6372 :$ сумма $18,$ $72 : 4 = 18$ ).

Теперь разберём частый сюжет на вычёркивание цифр.

Пример 2. Вычёркивание цифр

Условие:
Вычеркните в числе $45341527$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $12 .$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Показать решение

Шаг 1. Разбор условия делимости.
Делимость на $12$ означает одновременную делимость на $3$ (сумма цифр кратна 3) и на $4$ (две последние цифры образуют число, кратное 4).

Шаг 2. Обеспечиваем делимость на 4 (последние цифры).
Исходное число: $45341527 .$ Оно оканчивается на $27 .$ Это нечётно, на 4 не делится. Значит, последнюю цифру $7$ точно нужно вычеркнуть.
Вычёркиваем $7 :$ осталось $4534152 .$
Смотрим на две последние цифры: $52 .$ Проверяем делимость на 4: $52 = 40 + 12 = 4 \cdot 13 .$ Делится!
Значит, конец числа нас устраивает. Мы вычеркнули одну цифру, осталось вычеркнуть ещё две из части $45341 .$

Шаг 3. Обеспечиваем делимость на 3 (сумма цифр).
Сейчас у нас есть «заготовка» $4534152 .$ Найдём её сумму цифр:
$4 + 5 + 3 + 4 + 1 + 5 + 2 = 24 .$
Сумма $24$ уже делится на $3 .$
Нам нужно вычеркнуть ещё ровно две цифры так, чтобы новая сумма тоже делилась на $3 .$ Значит, сумма этих двух вычеркнутых цифр должна делиться на 3 (то есть быть 3, 6, 9, 12 и т.д.).

Какие две цифры из $4, 5, 3, 4, 1$ в сумме дают кратное трём?
Например: $4$ и $5$ (в сумме 9).
Вычеркнем их: $4534152 ⟹ 34152 .$

Шаг 4. Финальная проверка.
Получили число $34152 .$
Вычеркнули ровно 3 цифры? Да (4, 5 и 7).
Делится на 4? Да (оканчивается на 52).
Делится на 3? $3 + 4 + 1 + 5 + 2 = 15,$ делится на 3. Значит, делится и на 12.

Ответ: 34152 (возможны и другие ответы, например 45312).

Частые ошибки

Ноль как делитель

Ошибка: В задаче «число делится на каждую свою цифру» ученик подбирает число с нулём на конце, например $3510 .$

Правильно: На ноль делить нельзя! Фраза «делится на каждую свою цифру» автоматически означает, что среди цифр нет нулей.

Невнимательность к слову «различны»

Ошибка: Задача просит четырёхзначное число, кратное $12,$ с различными цифрами. Ученик выписывает $2448 :$ $2 + 4 + 4 + 8 = 18$ делится на $3,$ $48$ делится на $4,$ значит число делится на $12 .$ Радуется и записывает в ответ.

Правильно: В $2448$ цифра $4$ повторяется - условие «все цифры различны» нарушено. Прежде чем сдавать ответ, перечитай условие и пройдись по каждому требованию отдельно. Здесь подходит, например, $2136 :$ цифры $2, 1, 3, 6$ все разные, сумма $12$ кратна $3,$ $36 = 4 \cdot 9$ кратно $4 .$

Что запомнить

Делимость на 4 проверяется по двум последним цифрам, на 3 и 9 - по сумме всех цифр.
Составные делители разбиваются на взаимно простые множители: $12 = 3 \cdot 4,$ $15 = 3 \cdot 5,$ $36 = 4 \cdot 9 .$ Разбивать $12$ на $6$ и $2$ нельзя.
Решение не требует сложных формул - только аккуратный, последовательный перебор.

Стратегия на экзамене

Стратегия

Ориентировочное время: 15 минут. Это одна из самых «долгих» задач экзамена.
Приоритет: Оставь её на самый конец. Сначала реши всю тестовую геометрию и алгебру, где применяются чёткие формулы.
Когда пропускать временно: Если перебрал 3-4 варианта, запутался в признаках делимости и не видишь решения - оставь, вернёшься, если останется время.
Особенности проверки: На экзамене компьютер просто сравнит твоё число с базой правильных ответов. Выбери любой подходящий вариант и не трать время на поиск остальных.