Задание 19: Числа и их свойства — ЕГЭ база

О задании 19: Числа и их свойства

Задание 19 - логическая задача на конструирование чисел. Не требуются ни сложные уравнения, ни графики: задание проверяет понимание устройства чисел и знание признаков делимости.

Ответ всегда целое число. Фраза «в ответе укажите какое-нибудь одно такое число» означает, что правильных ответов несколько и достаточно найти любой.

Какие темы встречаются

В банке ФИПИ все задачи номера 19 сводятся к подтеме «Цифровая запись числа», но внутри встречаются три основных сюжета:

Конструирование числа: собрать число из цифр по заданным правилам (кратно $12,$ все цифры чётные и т. п.).
Вычёркивание цифр: из длинного числа вычеркнуть несколько цифр, чтобы оставшееся делилось на заданное (сюжет демоверсии).
Делимость с остатком: найти число, которое при делении на несколько чисел даёт одинаковый остаток.

За названием подтемы стоит главная идея: число полностью задаётся своими цифрами и их позициями. Двузначное - $ab = 10 a + b,$ трёхзначное - $ab c = 100 a + 10 b + c .$ Черта сверху означает, что $a, b, c$ - именно цифры от $0$ до $9,$ а не произведение. На экзамене напрямую работать с такой записью не придётся, но она объясняет все признаки делимости.

ВАЖНОЕ

Разрядная запись числа

ab = 10 a + b

ab c = 100 a + 10 b + c

ab c d = 1000 a + 100 b + 10 c + d

Здесь $a$ - старшая цифра (не ноль), остальные - любые цифры от $0$ до $9 .$

Для успешного решения абсолютно необходимо знать признаки делимости.

ВАЖНОЕ

Признаки делимости

На 2: последняя цифра - одна из ${0; 2; 4; 6; 8} .$
На 5: последняя цифра $0$ или $5 .$
На 10: последняя цифра $0 .$
На 4: две последние цифры образуют число, кратное $4$ (например, $\dots 32 :$ $32 = 4 \cdot 8$ ).
На 3: сумма всех цифр делится на $3 .$
На 9: сумма всех цифр делится на $9 .$
На 25: две последние цифры - $00,$ $25,$ $50$ или $75 .$

Если число должно делиться на составное число (например, на $6,$ $12,$ $15$ или $22$ ), разбей его на два взаимно простых множителя:

Делится на 6 $⟺$ делится на 2 и на 3.
Делится на 12 $⟺$ делится на 3 и на 4.
Делится на 15 $⟺$ делится на 3 и на 5.
Делится на 22 $⟺$ делится на 2 и на 11.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Разбивать можно только на взаимно простые

Разложить $12 = 6 \cdot 2$ и потом требовать делимость на $6$ и на $2$ по отдельности - ошибка: $6$ и $2$ имеют общий множитель $2,$ и признак перестаёт работать (например, $18$ делится на $2$ и на $6,$ но не на $12$ ). Всегда выбирай пару чисел без общих делителей: $12 = 3 \cdot 4,$ $15 = 3 \cdot 5,$ $22 = 2 \cdot 11 .$

Общий алгоритм решения

Задачи этого типа решаются методом логического перебора. Не пугайся слова «перебор» - если применять признаки делимости, перебирать придётся всего 3-4 варианта.

АЛГОРИТМ

Алгоритм конструирования числа

1. Выпиши все ограничения. Сколько цифр, в каком интервале лежит число, на что делится, какие цифры допустимы (различны, чётные, без нуля).
2. Разложи составные делители на взаимно простые множители. $12 = 3 \cdot 4,$ $15 = 3 \cdot 5,$ $36 = 4 \cdot 9,$ $72 = 8 \cdot 9 .$ Получишь простые признаки для проверки.
3. Зафиксируй крайние цифры. Первую цифру (или первые две) обычно задаёт интервал. Последнюю - признаки делимости на $2,$ $4,$ $5$ или $25 .$
4. Заполни середину подбором. Оставшиеся цифры подбирай так, чтобы выполнилось правило суммы (делимость на $3$ или $9$ ).
5. Сделай финальную проверку. Прогони число по каждому пункту условия. Особенно - по словам «различны», «чётные», «больше ... меньше ...».

Примеры решения

Рассмотрим задачу на конструирование числа с ограничениями по интервалу.

ПРИМЕР 1

Конструирование по интервалу и делимости

Условие:
Найди четырёхзначное натуральное число, большее $6100,$ но меньшее $6400,$ которое делится на $36$ и сумма цифр которого равна $18 .$ В ответе укажи какое-нибудь одно такое число.

Теперь разберём частый сюжет на вычёркивание цифр.

Схема вычёркивания цифр из числа 45341527

ПРИМЕР 2

Вычёркивание цифр

Условие:
Вычеркните в числе $45341527$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $12 .$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ноль как делитель

Ошибка: В задаче «число делится на каждую свою цифру» ученик подбирает число с нулём на конце, например $3510 .$

Правильно: На ноль делить нельзя! Фраза «делится на каждую свою цифру» автоматически означает, что среди цифр нет нулей.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Невнимательность к слову «различны»

Ошибка: Задача просит четырёхзначное число, кратное $12,$ с различными цифрами. Ученик выписывает $2448 :$ $2 + 4 + 4 + 8 = 18$ делится на $3,$ $48$ делится на $4,$ значит число делится на $12 .$ Радуется и записывает в ответ.

Правильно: В $2448$ цифра $4$ повторяется - условие «все цифры различны» нарушено. Прежде чем сдавать ответ, перечитай условие и пройдись по каждому требованию отдельно. Здесь подходит, например, $2136 :$ цифры $2, 1, 3, 6$ все разные, сумма $12$ кратна $3,$ $36 = 4 \cdot 9$ кратно $4 .$

Что запомнить

Делимость на 4 проверяется по двум последним цифрам, на 3 и 9 - по сумме всех цифр.
Составные делители разбиваются на взаимно простые множители: $12 = 3 \cdot 4,$ $15 = 3 \cdot 5,$ $36 = 4 \cdot 9 .$ Разбивать $12$ на $6$ и $2$ нельзя.
Решение не требует сложных формул - только аккуратный, последовательный перебор.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 15 минут. Это одна из самых «долгих» задач экзамена.
Приоритет: Оставь её на самый конец. Сначала реши всю тестовую геометрию и алгебру, где применяются чёткие формулы.
Когда пропускать временно: Если перебрал 3-4 варианта, запутался в признаках делимости и не видишь решения - оставь, вернёшься, если останется время.
Особенности проверки: На экзамене компьютер просто сравнит твоё число с базой правильных ответов. Выбери любой подходящий вариант и не трать время на поиск остальных.

Проверь себя0 из 4

1.Как проверить делимость числа на

4 ?

2.На какие множители правильно разбить делимость на

12 ?

3.Число делится на

9,

если...

4.Задача требует число, которое «делится на каждую свою цифру». Что это автоматически означает?