Треугольники и их элементы — ЕГЭ база

Суть темы

В задании 12 базового ЕГЭ по планиметрии часто встречаются задачи, где нужно опереться на элементы треугольника: его углы, стороны и специальные отрезки - биссектрису, медиану, высоту и среднюю линию. Эти задачи решаются не громоздкими вычислениями, а точным применением одного-двух школьных фактов: сумма углов равна $18 0^{\circ},$ в равнобедренном треугольнике высота к основанию совпадает с медианой, средняя линия равна половине основания.

Сюжеты типовые и "житейские": конёк крыши с равными стропилами, треугольный флажок со складкой по средней линии, угловая полка в комнате. Разбираем ровно тот набор приёмов, который покрывает эти задачи.

Основные формулы и ключевые факты

1. Углы треугольника

ВАЖНОЕ

Сумма углов треугольника

α + β + γ = 18 0^{\circ}

Сумма трёх внутренних углов любого треугольника равна $18 0^{\circ} .$ Если два угла известны, третий находится одним вычитанием.

Внешний угол треугольника (угол, смежный с внутренним) равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним. Это прямое следствие суммы $18 0^{\circ} .$

2. Биссектриса, медиана, высота

Три специальных отрезка, которые легко перепутать. У каждого своя роль.

ВАЖНОЕ

Биссектриса, медиана, высота

Биссектриса угла - луч (или отрезок), который делит угол пополам.
Медиана - отрезок от вершины до середины противоположной стороны.
Высота - отрезок из вершины, перпендикулярный противоположной стороне (или её продолжению).

Треугольник с биссектрисой, медианой и высотой

Меняй положение вершины A: медиана, высота и биссектриса идут в разные точки, а в равнобедренном случае совпадают.

В общем треугольнике эти три отрезка - разные. В равнобедренном и в равностороннем треугольнике они могут совпадать.

3. Равнобедренный треугольник

ВАЖНОЕ

Свойство равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают.

Углы при основании равны.

Равнобедренный треугольник со стропилами крыши

Поэтому, когда видишь в условии "равнобедренный" и нужна высота или медиана к основанию - проводи один отрезок и получи сразу два свойства: он делит основание пополам и перпендикулярен ему. Это превращает задачу в прямоугольный треугольник.

4. Средняя линия

ВАЖНОЕ

Средняя линия треугольника

Средняя линия - отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Она параллельна третьей стороне и равна её половине:

M N = \frac{1}{2} \cdot A C

5. Площадь треугольника

ВАЖНОЕ

Площадь через сторону и высоту

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

где $a$ - сторона треугольника, $h$ - высота, проведённая именно к этой стороне.

Для прямоугольного треугольника катеты играют роль стороны и высоты друг для друга, поэтому $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,$ где $a$ и $b$ - катеты.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как подступиться к задаче на элементы треугольника

1. Нарисуй крупный чертёж. Даже если рисунок есть в условии - перерисуй. На своём чертеже проще отмечать данные.
2. Отметь всё, что известно. Равные стороны - одинаковыми штрихами. Равные углы - одинаковыми дугами. Прямой угол - значком квадрата.
3. Распознай тип треугольника. Равнобедренный? Прямоугольный? Это подскажет, какое свойство применять.
4. Подбери инструмент. Нужно найти угол - ищи сумму $18 0^{\circ}$ или внешний угол. Нужна длина - ищи среднюю линию, медиану к основанию или теорему Пифагора после проведения высоты. Нужна площадь - найди сторону и высоту к ней.
5. Посмотри на вопрос ещё раз. Часто после вычислений нужно сделать последний шаг: разделить на $2,$ умножить на $2,$ найти периметр, а не сторону.

✓СОВЕТ

Готовая формула в условии

Если в задаче дана длинная формула (например, медианы $m_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2}$ или радиуса вписанной окружности $r = \frac{a + b - c}{2}$ ), её не нужно выводить или помнить. Аккуратно подставь числа и посчитай. Это арифметика, замаскированная под геометрию.

Примеры решения

Идём от короткой задачи на углы к более насыщенным сюжетам.

ПРИМЕР 1

Углы треугольника и биссектриса

Условие:
Угловая полка имеет форму треугольника $A B C .$ Известно, что $∠ A = 7 0^{\circ},$ $∠ C = 5 0^{\circ} .$ Из вершины $B$ проведена биссектриса $B L .$ Найди угол $∠ A B L$ (в градусах).

Решение:

1. Сумма углов треугольника равна $18 0^{\circ} :$

∠ B = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

2. Биссектриса делит угол $B$ пополам:

∠ A B L = \frac{6 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}

Ответ: $30$

ПРИМЕР 2

Средняя линия

Условие:
Треугольный флажок $A B C$ имеет основание $A C = 24$ см. По серединам боковых сторон $A B$ и $B C$ отмечены точки $M$ и $N,$ через них пришита декоративная лента $M N .$ Найди длину ленты (в сантиметрах).

ПРИМЕР 3

Высота в равнобедренном треугольнике

Условие:
Крыша сарая имеет форму равнобедренного треугольника $A B C$ с равными стропилами $A B = B C = 17$ м и прогоном $A C = 16$ м. Найди высоту конька над прогоном (в метрах).

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путают биссектрису, медиану и высоту

Ошибка: В произвольном треугольнике считают, что биссектриса делит противоположную сторону пополам, или что медиана перпендикулярна стороне.

Правильно: Биссектриса делит пополам угол, медиана - сторону, высота образует со стороной прямой угол. В общем случае это три разных отрезка, и они попадают в разные точки на противоположной стороне. Совпадают они только в равнобедренном (для отрезков к основанию) и в равностороннем треугольнике.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

В теорему Пифагора подставляют всё основание

Ошибка: Ищут высоту равнобедренного треугольника и подставляют в Пифагора всю длину основания ( $16$ вместо $8$ в примере 3).

Правильно: Высота к основанию делит его ровно пополам. Обязательно раздели основание на $2$ до подстановки. Проверь: катет меньше гипотенузы, а у тебя в квадрате должно получиться положительное число.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Среднюю линию путают с основанием

Ошибка: Считают, что средняя линия равна самому основанию, а не его половине. Или наоборот: зная среднюю линию, дают её же в ответ вместо основания.

Правильно: $M N = \frac{1}{2} \cdot A C .$ Если известна средняя линия и спрашивают основание - умножай на $2 .$ Если известно основание и спрашивают среднюю линию - дели на $2 .$

Что запомнить

Сумма углов треугольника - $18 0^{\circ} .$ Два угла даны - третий находится вычитанием.
Равнобедренный треугольник - сразу проводи высоту к основанию. Она же медиана, она же биссектриса: делит основание пополам и даёт прямоугольный треугольник.
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. Две середины - значит, средняя линия.
Тройки Пифагора. $3 - 4 - 5,$ $5 - 12 - 13,$ $8 - 15 - 17,$ $7 - 24 - 25$ - встречаются в базе постоянно. Увидел два числа из тройки - третье известно без вычислений.
Готовые формулы в условии (медианы, радиуса вписанной окружности) нужно просто подставить, а не выводить.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время: около $8$ минут на задание 12.
Приоритет: решай в первом проходе. Большинство задач на элементы треугольника - это $2 - 3$ шага: найти угол, провести высоту, применить Пифагора.
Чертёж обязателен. Даже если фигура кажется простой - эскиз с подписанными данными экономит время и страхует от путаницы "какая сторона - основание".
Проверка правдоподобия. Высота меньше боковой стороны. Катет меньше гипотенузы. Угол треугольника меньше $18 0^{\circ} .$ Если не выполняется - ищи арифметическую ошибку.
Когда пропустить. Если задача с подобием или незнакомой формулой, а времени в обрез - отметь и переходи к следующей. Вернёшься после лёгких номеров.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна сумма внутренних углов любого треугольника?

2.Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон. Чему она равна?

3.В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, ...

4.В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны

13,

основание равно

10 .

Чему равна высота, проведённая к основанию?