Задание 12: Планиметрия — ЕГЭ база

Планиметрия: фигуры на плоскости (Задание 12)

Задание 12 ЕГЭ-база - это классическая планиметрия (геометрия на плоскости). Здесь не нужно доказывать сложные теоремы или строить хитрые дополнительные линии. Все задачи решаются в 1-2 действия с использованием базовых свойств фигур и теоремы Пифагора.

Ответ в этом задании всегда записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Какие темы встречаются

В этом номере проверяется знание свойств двумерных фигур. По статистике банка задач, темы распределяются так:

Четырёхугольники (около 80% задач): прямоугольники, ромбы, параллелограммы и трапеции. Чаще всего просят найти сторону, диагональ или площадь, используя прямоугольные треугольники внутри фигуры.
Треугольники (около 15% задач): равнобедренные и прямоугольные треугольники. Главные инструменты - теорема Пифагора и свойства медианы/высоты.
Окружности и многоугольники (около 5% задач): простейшие задачи на деление круга на секторы (знаменитая задача про «колесо со спицами») или вписанные углы.

Ключевые формулы

Площади фигур есть в справочных материалах, но запомни их, чтобы не тратить время на лист:

ВАЖНОЕ

Площади основных фигур

S_{△} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

S_{прямоуг} = a \cdot b S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2}

S_{параллелогр} = a \cdot h S_{трапеции} = \frac{a + b}{2} \cdot h

где $a,$ $b$ - стороны (или основания), $h$ - высота, $d_{1},$ $d_{2}$ - диагонали.

ВАЖНОЕ

Теорема Пифагора

c^{2} = a^{2} + b^{2}

где $c$ - гипотенуза, $a$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.

Общий алгоритм решения

Почти любая геометрическая задача базового уровня сводится к поиску нужного прямоугольного треугольника.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задачи по планиметрии

1. Сделай крупный чертёж. Даже если в КИМе есть картинка, перерисуй её на черновик покрупнее.
2. Отметь всё «дано» на чертеже. Подпиши длины известных отрезков и известные углы прямо на линиях.
3. Ищи прямоугольный треугольник. Опусти высоту или проведи диагональ. Большинство задач сводится к тому, чтобы найти две стороны прямоугольного треугольника и по теореме Пифагора вычислить третью.
4. Вспомни свойства фигуры. Если это прямоугольник - противоположные стороны равны. Если ромб - диагонали пересекаются под прямым углом. Если равнобедренный треугольник - высота делит основание пополам.
5. Вычисли и проверь ответ. Может ли сторона треугольника быть отрицательной? Нет. Может ли гипотенуза быть короче катета? Нет.

Примеры решения

Посмотри на задачи из трёх самых частых сюжетов этого номера.

ПРИМЕР 1

Равнобедренный треугольник

Условие:
В треугольнике $A B C$ известно, что $A B = B C = 17,$ а основание $A C = 16 .$ Найди площадь треугольника $A B C .$

ПРИМЕР 2

Прямоугольник и углы

Условие:
На стороне $B C$ прямоугольника $A B C D,$ у которого $A B = 15$ и $A D = 23,$ отмечена точка $E$ так, что угол $E A B$ равен $4 5^{\circ} .$ Найди длину отрезка $E D .$

ПРИМЕР 3

Колесо со спицами (многоугольники)

Условие:
Колесо имеет $15$ спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найди величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки в теореме Пифагора

Ошибка: Складывать квадраты катета и гипотенузы, чтобы найти неизвестный катет. $x^{2} = 1 7^{2} + 8^{2} .$

Правильно: Квадрат гипотенузы (самой длинной стороны, лежащей напротив прямого угла) равен сумме квадратов катетов. Если ищешь гипотенузу - складывай квадраты ( $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ). Если ищешь катет - вычитай из квадрата гипотенузы квадрат известного катета ( $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ ).

Два одинаковых прямоугольных треугольника рядом (катеты a и

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в свойствах диагоналей

Ошибка: Считать, что диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, или что диагонали параллелограмма делят его углы пополам.

Правильно: Под прямым углом пересекаются только диагонали ромба и квадрата. Они же являются биссектрисами углов. У обычного прямоугольника или параллелограмма этого свойства нет.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: На задачу стоит потратить $6 - 8$ минут.
Когда решать: В первую очередь. Это стандартная школьная геометрия, которая обычно не содержит подвохов.
Не бойся больших чисел: Если по теореме Пифагора получается число вроде $5329,$ загляни в таблицу квадратов (она есть в справочных материалах). Там ты легко найдёшь, что это $7 3^{2} .$
Проверка чертежом: Если в ответе получился отрезок, который на твоём (правильно нарисованном) чертеже выглядит как самый короткий, а число вышло самым большим - пересчитай, где-то ошибка.

Проверь себя0 из 4

1.В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны

10,

основание равно

12 .

Чему равна высота, проведённая к основанию?

2.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна

13,

один из катетов равен

5 .

Чему равен второй катет?

3.Колесо имеет

18

спиц, углы между соседними спицами равны. Чему равен угол между двумя соседними спицами?

4.Диагонали какой из фигур всегда пересекаются под прямым углом?