Треугольник

Треугольник (Задание 10)

В задании 10 ЕГЭ-база встречается много сюжетов из прикладной геометрии: тень от фонаря, флаг на ветру, скат крыши, полка-уголок, клин торта. Почти все они сводятся к одной фигуре - треугольнику. В этом конспекте разберём главные формулы про треугольник: как находить площадь, как связаны стороны прямоугольного треугольника и как всё это быстро применять на экзамене.

Суть темы

Треугольник - плоская фигура из трёх сторон и трёх углов. Сумма углов всегда равна $180^{\circ }\text{.}$ У любого треугольника есть три высоты (каждая выходит из вершины и перпендикулярна противоположной стороне), три медианы и три биссектрисы.

Для задач 10 номера знание всех этих линий не нужно. Достаточно уверенно работать с двумя вещами: площадью треугольника и теоремой Пифагора (для прямоугольных треугольников).

Основные формулы

Для базы достаточно трёх формул. Первые две - про площадь, третья - про стороны прямоугольного треугольника.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три задачи: от подстановки в готовую формулу до задачи с Пифагором.

ПРИМЕР 2

Высота ската крыши

Условие:
Скат крыши имеет форму прямоугольного треугольника. Его гипотенуза - стропило длиной $5$ м. Горизонтальное основание ската равно $4$ м. Найди вертикальную высоту ската (в метрах).

Частые ошибки

Что запомнить

• Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{.}$

• Площадь: $S=\frac{1}{2}ah$ или $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ - бери ту формулу, для которой известны данные.

• Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2=a^2+b^2\text{,}$ где $c$ - гипотенуза.

• Пифагоровы тройки: $3$-$4$-$5\text{,}$ $5$-$12$-$13\text{,}$ $8$-$15$-$17$ (и их кратные). Увидев две стороны из тройки - третью называй без вычислений.

• $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\text{,}$ $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{,}$ $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ $\sin 90^{\circ }=1\text{.}$

Стратегия на экзамене