Задание 10: Прикладная геометрия — ЕГЭ база

Прикладная геометрия (Задание 10)

Задание 10 ЕГЭ-база проверяет, как ты применяешь школьную планиметрию в бытовых сюжетах: заборы и участки, плитка и краска, колёса обозрения и зонты, лестницы и тени от фонарей. Никаких доказательств и громоздких теорем - только аккуратное применение базовых формул.

Ответ - целое число или конечная десятичная дробь.

Какие темы встречаются

Геометрические фигуры в этом задании "спрятаны" в бытовых сюжетах. По банку заданий распределение такое:

Разные задачи (около 69%): расчёт площади комнаты или стены, разница между планом и реальным замером, количество плитки или рулонов обоев, расход краски. Почти всё сводится к формулам площади и периметра прямоугольника.
Окружность (около 20%): углы между спицами колеса, между секторами зонта, между кабинками колеса обозрения.
Прямоугольник (около 7%): заборы, разделение участка на части, сравнение периметров.
Треугольник (около 4%): подобие (человек, фонарь и тень) и теорема Пифагора (лестница у стены, расстояние по диагонали).

ВАЖНОЕ

Периметр и площадь прямоугольника

Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b :$

P = 2 (a + b), S = a \cdot b

Для квадрата со стороной $a :$ $P = 4 a,$ $S = a^{2} .$

ВАЖНОЕ

Полный оборот и сектор

Полный угол окружности равен $36 0^{\circ} .$ Если окружность разделена на $n$ равных частей (спиц, секторов), угол одной части равен:

α = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

ВАЖНОЕ

Подобие в задаче о тени

Если человек стоит под уличным фонарём, образуются два подобных прямоугольных треугольника.

\frac{H}{h} = \frac{L + x}{x}

Здесь $H$ - высота фонаря, $h$ - рост человека, $L$ - расстояние от фонаря до человека, $x$ - длина тени.

ВАЖНОЕ

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике с катетами $a,$ $b$ и гипотенузой $c :$

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Применяется для лестницы у стены, диагонали комнаты, расстояния "по прямой".

Общий алгоритм решения

Залог успеха в задании 10 - правильный рисунок.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения прикладных геометрических задач

1. Сделай чертёж. Переведи текстовое описание в геометрическую фигуру. Комната, стена, плитка - прямоугольник; фонарь и тень - прямоугольный треугольник; колесо, зонт - окружность.
2. Отметь все числа на чертеже. Подпиши длины сторон, расстояния и известные углы.
3. Согласуй единицы измерения. Если в условии есть см и м одновременно - переводи всё к одной единице до подстановки. Если просят ответ в квадратных метрах, а даны сантиметры - переводи сразу.
4. Выбери подходящую формулу. Прямоугольник - периметр или площадь. Окружность - деление $36 0^{\circ}$ на число секторов. Тень - подобие. Лестница у стены - теорема Пифагора.
5. Оцени результат. Высота фонаря должна быть больше роста человека, длина забора для дачного участка - десятки метров, а не тысячи. Если ответ получается явно несуразный - ищи ошибку.

Примеры решения

Разберём три типовых сюжета из разных подтем: окружность, площадь, подобие.

ПРИМЕР 1

Зонт и сектора

Условие:
Зонт в раскрытом виде имеет форму правильного многоугольника с $12$ вершинами (спицы зонта делят его на равные сектора). Найди угол (в градусах) между двумя соседними спицами.

Решение:

1. Полный оборот вокруг центра зонта равен $36 0^{\circ} .$
2. $12$ спиц делят окружность ровно на $12$ равных секторов.
3. Угол между двумя соседними спицами - угол одного сектора:

α = \frac{36 0 ^{\circ}}{12} = 3 0^{\circ}

Ответ: $30$

ПРИМЕР 2

Площадь и плитка

Условие:
Пол в прямоугольной кухне имеет размеры $3, 5$ м и $4$ м. Его нужно выложить квадратной плиткой со стороной $50$ см. Сколько плиток потребуется, если отходов нет?

ПРИМЕР 3

Лестница у стены (теорема Пифагора)

Условие:
К вертикальной стене дома приставлена лестница длиной $13$ м. Нижний конец лестницы находится на земле на расстоянии $5$ м от стены. На какой высоте (в метрах) от земли находится верхний конец лестницы?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница с секторами и столбами

Ошибка: В задаче про колесо с $N$ спицами считают, что спицы образуют $N - 1$ промежутков (по аналогии со столбами в ряд, где между $N$ столбами $N - 1$ промежутков).

Правильно: Окружность замкнута. $N$ спиц (или точек на окружности) всегда образуют ровно $N$ дуг (секторов). Дели $36 0^{\circ}$ на само число спиц, а не на $N - 1 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Разные единицы измерения в одной задаче

Ошибка: Размеры пола в метрах, сторона плитки в сантиметрах. Считают площадь плитки как $50 \cdot 50 = 2500$ и делят $14$ на $2500$ - получается абсурдный ответ $0, 0056 .$

Правильно: До подстановки приведи все величины к одной единице измерения. Обычно удобнее к той, в которой задан главный объект (пол - в метрах, значит и плитку - в метрах: $0, 5$ м).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не та сторона - катет или гипотенуза

Ошибка: В задаче про лестницу пишут $h^{2} = 1 3^{2} + 5^{2}$ вместо $h^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} .$ Складывают катет с гипотенузой.

Правильно: Гипотенуза - самая длинная сторона, она лежит напротив прямого угла. В теореме Пифагора именно её квадрат равен сумме квадратов катетов: $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$ Если нужно найти катет - вычитай из квадрата гипотенузы квадрат известного катета.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: около $10$ минут.
Приоритет: Решай в первой половине экзамена. Сложных вычислений нет, но внимательное чтение и аккуратный чертёж обязательны.
Рисуй! Не пытайся решить геометрическую задачу в уме. Нарисуй комнату, отметь спицы, набросай лестницу у стены. Наглядность убережёт от ошибок.
Единицы измерения. Сразу после чтения условия подчеркни все числа и их единицы. Если см и м встречаются вместе - переведи до вычислений.
Проверяй правдоподобие. Высота фонаря не бывает ниже человека, комнатная плитка не считается миллионами, а лестница длиной $5$ м не может стоять в $6$ м от стены. Если ответ странный - ищи ошибку в формуле или в единицах.

Проверь себя0 из 4

1.Колесо обозрения имеет

18

кабинок, расположенных через равные промежутки. Какой угол (в градусах) между соседними кабинками?

2.Пол размером

6

м на

4

м выкладывают квадратной плиткой со стороной

50

см. Сколько плиток потребуется (отходов нет)?

3.Лестница длиной

10

м приставлена к стене, её нижний конец в

6

м от стены. На какой высоте верхний конец лестницы?

4.В задаче про фонарь и тень какое соотношение верно всегда?