Теоремы о вероятностях событий — ЕГЭ база

Теоремы о вероятностях событий (Задание 5)

В задании 5 базового ЕГЭ по математике чаще всего встречается классическое определение вероятности (где нужно делить "подходящие" исходы на "все"). Но иногда попадаются задачи, где вероятности уже даны, и с ними нужно произвести математические действия. Это задачи на теоремы о вероятностях событий.

Здесь не нужно ничего считать с нуля, достаточно понимать, как события связаны между собой в реальной жизни: происходят они одновременно, исключают друг друга или дополняют.

Суть темы

Вероятность любого события - это всегда число от $0$ до $1 .$

$0$ - событие никогда не произойдёт (невозможное).
$1$ - событие произойдёт со стопроцентной гарантией (достоверное).

Чтобы решать задачи, нужно уметь переводить русские слова-связки на язык математики.

1. Слово «НЕ» (противоположное событие). Если событие $A$ - «пойдёт дождь», то противоположное ему событие $A ˉ$ - «дождь НЕ пойдёт». Вместе они охватывают все возможные варианты.
2. Слово «ИЛИ» (объединение событий). Нас устраивает, если произошло $A,$ или $B,$ или оба сразу. В задачах базового ЕГЭ обычно события несовместны (например, при одном броске кубика выпадет «двойка» ИЛИ «пятёрка»), и тогда вероятности просто складываются.
3. Слово «И» (пересечение событий). Произошли оба события сразу. Если они независимы (исход одного не влияет на другой), вероятности перемножаются. Например, одна лампочка перегорит И вторая лампочка перегорит.

Основные формулы

Каждому слову-связке соответствует своё математическое действие.

ВАЖНОЕ

Теорема о противоположных событиях (правило "НЕ")

P (A) + P (A ˉ) = 1

Отсюда выражается любая часть: $P (A ˉ) = 1 - P (A) .$ Сумма вероятностей того, что событие произойдёт и что оно не произойдёт, всегда равна единице.

ВАЖНОЕ

Сложение вероятностей (правило "ИЛИ")

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Это общая формула для любых двух событий. Если события несовместны (не могут случиться одновременно, $P (A \cap B) = 0$ ), она упрощается:

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

ВАЖНОЕ

Умножение вероятностей (правило "И" для независимых)

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Применяется только для независимых событий (исход одного не влияет на исход другого).

Диаграммы Венна: противоположные, несовместные, совместные события

Алгоритм решения

В таких задачах текст напрямую диктует решение.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения

1. Определи вопрос задачи. Что именно нужно найти? Какое это событие по отношению к известному?
2. Ищи слова-маркеры. Если в вопросе есть частица «не», «остальные», «исправные» (при заданных бракованных) - используй вычитание из единицы.
3. Составь выражение. Если событий несколько, свяжи их знаками $+$ (если нужно одно ИЛИ другое) или $\cdot$ (если нужно одно И другое вместе).
4. Выполни вычисления. Внимательно следи за положением запятой в десятичных дробях.

Примеры решения

Разберём три задачи: от элементарного вычитания до комбинации правил.

ПРИМЕР 1

Противоположное событие

Условие:
По прогнозу синоптиков вероятность того, что в ближайшее воскресенье пойдёт дождь, равна $0, 25 .$ Найди вероятность того, что в воскресенье дождя не будет.

Решение:
В этой задаче есть ровно два исхода: дождь пойдёт или дождь не пойдёт. Третьего не дано - это противоположные события.

1. Обозначим $A$ - "пойдёт дождь", $P (A) = 0, 25 .$
2. Нужно найти $P (A ˉ)$ - "дождя не будет".
3. По формуле противоположных событий:

P (A ˉ) = 1 - 0, 25 = 0, 75

Проверка: сумма $0, 25 + 0, 75 = 1$ - всё сходится, других вариантов нет.

Ответ: $0, 75$

ПРИМЕР 2

Правило "ИЛИ" для несовместных

Условие:
Стрелок делает один выстрел по мишени. Вероятность попасть точно в центр равна $0, 1,$ вероятность попасть во внутреннее кольцо вокруг центра равна $0, 4 .$ Попасть одновременно и в центр, и в кольцо невозможно. Найди вероятность того, что стрелок попадёт в центр или во внутреннее кольцо.

ПРИМЕР 3

Комбинация правил "НЕ" и "И"

Условие:
На заводе две независимые друг от друга линии выпускают одинаковые детали. Вероятность того, что на первой линии за смену произойдёт сбой, равна $0, 1 .$ Такая же вероятность сбоя на второй линии - $0, 1 .$ Линии работают независимо. Найди вероятность того, что за смену обе линии отработают без сбоев.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вычитание из 100 вместо единицы

Ошибка: Видят слово "проценты" в голове и считают ответ как $100 - 0, 25 = 99, 75 .$

Правильно: Вероятность в математике измеряется от $0$ до $1 .$ Вычитать нужно только из единицы: $1 - 0, 25 = 0, 75 .$ Если в ответе по теории вероятностей получилось число больше $1$ - это гарантированно неверный ответ.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между сложением и умножением

Ошибка: В задаче про две линии складывают вероятности: $0, 9 + 0, 9 = 1, 8$ (что невозможно, так как больше $1$ ).

Правильно: Проговаривай связку. Первая линия И вторая линия = умножение. Одно событие ИЛИ другое = сложение.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Когда события могут случиться одновременно

Ошибка: Школьник видит связку "ИЛИ" и сразу складывает вероятности, не проверяя, совместны события или нет. Например: в группе вероятность ученика знать английский - $0, 6,$ знать немецкий - $0, 3 .$ На вопрос "какова вероятность, что ученик знает хотя бы один из языков" пишут $0, 6 + 0, 3 = 0, 9,$ забывая о тех, кто знает оба языка.

Правильно: Если события совместны (могут случиться одновременно), работает общая формула $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$ Просто сложение - только для несовместных. В задачах базового ЕГЭ несовместность обычно явно указана в условии словами "не может одновременно", "никто не берёт сразу два" и т.п.

Что запомнить

Вероятность всегда $0 ⩽ P ⩽ 1$ . Получилось больше единицы - ищи ошибку.
Противоположные события: $P (A ˉ) = 1 - P (A) .$ Это самый частый сюжет базового ЕГЭ в этой теме.
Связка «ИЛИ» для несовместных $⟹$ знак $+$ (сложение).
Связка «И» для независимых $⟹$ знак $\cdot$ (умножение).
Проверяй ответ: если сложение дало число больше $1$ - скорее всего, события совместны и нужна общая формула со знаком $- .$
При сложении и вычитании десятичных дробей запятая пишется под запятой: $1, 00 - 0, 25 = 0, 75 .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 3-5 минут.
Задачи на вычитание из единицы - одни из самых лёгких в варианте. Решай их сразу, в первом проходе.
Если задача кажется запутанной, нарисуй на черновике "дерево" или схему. Это визуализирует процесс и сразу покажет, нужно ли умножать или складывать.
Обязательно выполни быструю проверку: сложи свой ответ и вероятность из условия (в задаче типа Примера 1). В сумме должна получиться ровно $1 .$

Проверь себя0 из 4

1.Вероятность того, что батарейка бракованная, равна

0, 06 .

Какова вероятность купить исправную батарейку?

2.События

A

B

несовместны,

P (A) = 0, 3,

P (B) = 0, 2 .

Чему равна вероятность того, что произойдёт

A

или

B ?

3.Две лампочки перегорают независимо друг от друга, каждая с вероятностью

0, 2 .

Какова вероятность того, что перегорят обе?

4.Какое из чисел НЕ может быть вероятностью события?