Задание 5: Начала теории вероятностей — ЕГЭ база

Простые вероятности (Задание 5)

Задание 5 базового ЕГЭ по математике проверяет понимание самых основ теории вероятностей. Здесь нет сложных комбинаторных задач, игральных кубиков, которые бросают пять раз подряд, или запутанных схем. Все задачи максимально приближены к жизни: вызов такси, проверка партии лампочек, жеребьёвка, вытягивание билета на экзамене.

Ответом всегда будет конечная десятичная дробь от $0$ до $1 .$

Какие темы встречаются

Абсолютное большинство задач этого номера (более 99%) решаются в одно действие. В банке заданий ФИПИ темы распределены так:

Классическое определение вероятности (почти все задачи) - нужно просто поделить одно число на другое.
Вероятности противоположных событий (редко, но встречается) - когда известна вероятность одного исхода, а нужно найти вероятность обратного.

Основные формулы

Основа этого задания - всего одна главная формула и одно важное правило.

ВАЖНОЕ

Классическая вероятность

P = \frac{m}{n}

где $n$ - общее количество всех возможных исходов, а $m$ - количество «подходящих» (благоприятных) исходов.

ВАЖНОЕ

Противоположные события

P (A) + P (A ˉ) = 1 \Rightarrow P (A ˉ) = 1 - P (A)

Сумма вероятностей того, что событие произойдёт, и того, что оно не произойдёт, всегда равна единице. Отсюда удобная форма для вычислений справа.

Диаграмма: благоприятные и неблагоприятные исходы

Алгоритм решения

Чтобы не запутаться в условии, действуй по шагам.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задач на вероятность

1. Определи вопрос. Чётко пойми, вероятность чего именно нужно найти. Это и будут твои «подходящие» исходы ( $m$ ).
2. Найди общее количество исходов ( $n$ ). Это всё количество предметов, людей или вариантов. Иногда это число дано в условии, а иногда его нужно посчитать, сложив все группы.
3. Найди количество благоприятных исходов ( $m$ ). Посчитай, сколько объектов удовлетворяют условию из вопроса.
4. Подели $m$ на $n .$ Запиши результат в виде десятичной дроби (не забудь использовать запятую).

Примеры решения

Разберём типичные сюжеты, которые встретятся тебе на экзамене.

ПРИМЕР 1

Классическое определение в лоб

Условие:
На школьной ярмарке в лотерейный барабан положили $50$ пронумерованных шаров: $12$ шаров с выигрышными номерами, остальные без выигрыша. Участник наугад вытаскивает один шар. Найди вероятность того, что шар окажется выигрышным.

В некоторых задачах общее число нужно сначала найти, либо найти количество подходящих исходов через вычитание.

ПРИМЕР 2

Поиск благоприятных исходов через вычитание

Условие:
В коробке лежит $500$ флешек. Известно, что в среднем $15$ флешек из этой партии попадаются неисправными. Какова вероятность, что случайно выбранная флешка окажется рабочей?

Иногда задача даётся уже в виде готовой вероятности. Здесь работает правило противоположных событий.

ПРИМЕР 3

Противоположные события

Условие:
Вероятность того, что новый чайник прослужит дольше гарантийного срока, равна $0, 86 .$ Найди вероятность того, что он сломается в течение гарантии.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответили не на тот вопрос

Ошибка: В задаче спрашивают вероятность того, что попадётся невыученный билет, а в ответ записывают вероятность того, что попадётся выученный.

Правильно: Всегда перечитывай вопрос перед тем, как записать ответ в бланк. Если спрашивают про бракованные детали - в числителе должны быть именно бракованные. В этом случае удобно использовать формулу противоположных событий: $P (невыучен) = 1 - P (выучен) .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильно нашли общее количество

Ошибка: В условии сказано: «В классе $12$ учеников и $13$ учениц. Какова вероятность, что к доске наугад вызовут ученицу?». В ответе делят $13$ на $12 .$

Правильно: Делить нужно на ОБЩЕЕ количество детей. Сначала сложи: $n = 12 + 13 = 25 .$ И только потом разделим: $P = \frac{13}{25} = 0, 52 .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 2-5 минут (хотя официально заложено 10 минут, задача решается очень быстро).
Приоритет: Решай одной из первых. Это одно из самых простых заданий варианта.
Быстрая проверка: Посмотри на свою дробь. Если она не переводится в конечную десятичную (например, в знаменателе осталось число $3$ или $7,$ и оно не сокращается) - ищи ошибку в чтении условия. В базе все ответы обязаны быть "красивыми".
Подсказка по вычислениям: Старайся не делить уголком, если знаменатель можно домножить до $10,$ $100$ или $1000$ (как в примерах выше с числами $50,$ $500$ ). Это сэкономит время и убережёт от обидных вычислительных ошибок.

Проверь себя0 из 4

1.По какой формуле считается классическая вероятность?

2.В классе 12 учеников и 13 учениц. Какова вероятность, что к доске вызовут ученицу?

3.Вероятность того, что чайник прослужит дольше гарантии, равна

0, 86 .

Какова вероятность, что он сломается в течение гарантии?

4.Ты получил в ответе вероятность

1, 5 .

Что это значит?