Текстовые задачи — ЕГЭ база

Задачи на смекалку (Задание 21)

Задание 21 - финальный номер базовой ЕГЭ. Оно проверяет логику, здравый смысл и умение строить простейшую модель. Сюжеты разные: распил досок, подъём туриста, совместная работа, покупки с обменом. Для решения достаточно базовой арифметики и одного линейного уравнения - важно только внимательно прочитать условие и перевести слова в числа.

Ключевые факты и формулы

Большинство задач этого типа сводится к одному из трёх сюжетов: разбиение на части, процесс с откатом или чередование двух действий. Для каждого есть своя закономерность.

ВАЖНОЕ

Распилы и куски

Если взять один целый объект (доску, ленту, верёвку) и сделать на нём $N$ поперечных распилов, получится $N + 1$ кусок:

Куски = Распилы + 1

Если изначально было $K$ отдельных кусков (досок, лент) и сделали $R$ распилов, то итог считается так:

Итого кусков = K + R

ВАЖНОЕ

Процесс с откатом

Если за один полный цикл (сутки, час, этап) герой делает шаг вперёд на $A$ и шаг назад на $B,$ то чистый прогресс за цикл:

Δ = A - B

Но на последнем цикле отката уже не будет: как только цель достигнута, процесс останавливается. Значит, считать нужно в два этапа: сначала доехать до "предпоследней" отметки, а потом добавить один полный шаг вперёд.

ВАЖНОЕ

Чередование с разной скоростью

Если герой A работает (или ест, или заполняет) в $k$ раз быстрее героя B, то на одинаковый объём B тратит в $k$ раз больше времени. И наоборот: за одинаковое время A сделает в $k$ раз больший объём.

t_{B} = k \cdot t_{A} или V_{A} = k \cdot V_{B}

Алгоритм решения

Единого шаблона для таких задач нет, но этот пошаговый план распутывает большинство сюжетов.

АЛГОРИТМ

Как подступиться к задаче на смекалку

1. Смоделируй ситуацию руками. Нарисуй схему или короткую таблицу для первых двух-трёх шагов. Если в задаче распил - нарисуй линии. Если процесс - выпиши, что было в начале и после первого цикла.
2. Найди скрытый подвох. Задай себе вопрос: "Что здесь работает не так, как кажется?". Чаще всего ловушка прячется в последнем шаге (нет ночного отката в день финиша) или в начале (было не один объект, а несколько).
3. Переведи текст в простое уравнение. Обозначь искомое за $x$ и свяжи данные одной формулой.
4. Проверь ответ. Подставь число обратно в условие и "прокрути" сценарий от старта до финала. Если ответ сошёлся до каждой буквы - всё верно.

Примеры решения

Три типичных сюжета: разбиение с несколькими исходными частями, подъём с откатом и чередование с разной скоростью.

ПРИМЕР 1

Ленты для подарков

Условие:
Для упаковки подарков продавец взял несколько одинаковых лент. Всего он сделал 22 поперечных разреза и получил 30 кусков. Сколько лент было изначально?

Решение:

1. Каждый разрез прибавляет ровно один кусок к общему количеству.
2. Обозначим количество лент за $x .$ Связь:

Куски = Ленты + Разрезы \Rightarrow 30 = x + 22

3. Отсюда $x = 30 - 22 = 8 .$

Ответ: $8$

ПРИМЕР 2

Турист в горах

Условие:
Турист поднимается по крутой тропе к вершине. За световой день он проходит вверх 5 км, но за ночь из-за усталости и скользкого склона сползает вниз на 2 км. Всего от лагеря до вершины - 17 км. На какой по счёту день турист впервые окажется на вершине?

Вертикальная числовая ось высоты от 0 до 17 км с отметками ч

ПРИМЕР 3

Сбор урожая на двоих

Условие:
Отец и сын собрали с огорода 120 кг картофеля и вскопали одну грядку, начав и закончив одновременно. Сначала сын собирал картофель, а отец копал, но в какой-то момент они поменялись. Отец и копает, и собирает картофель в $2$ раза быстрее сына. Сколько килограммов картофеля собрал отец, если грядку они вскопали поровну?

Полоса общего времени 3t: у отца копает t и собирает 2t, у сына собирает t и копает 2t

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление без учёта последнего шага

Ошибка: В задаче про подъём с откатом поделить общий путь на разницу между дневным подъёмом и ночным спуском. Например, для туриста: $\frac{17}{5 - 2} \approx 5, 67$ и округлить до $6 .$

Правильно: В день финиша отката не будет. Сначала отними дневной рывок от общей цели, раздели остаток на чистый прогресс за сутки, затем добавь один день на финальный рывок. Для туриста: $(17 - 5) /3 + 1 = 5$ дней.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали "на" и "в"

Ошибка: В условии сказано "отец работает в $2$ раза быстрее", а ученик считает, как будто отец работает на $2$ единицы быстрее. Или наоборот: "отдал на $3$ монеты больше" трактуют как "в $3$ раза больше".

Правильно:

"В $k$ раз" - это умножение/деление: $v_{отца} = k \cdot v_{сына} .$
"На $k$ " - это сложение/вычитание: $v_{отца} = v_{сына} + k .$

Прочитай условие вслух и подчеркни предлоги "в" или "на" карандашом. Это снимает половину ошибок в таких задачах.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли про начальное количество

Ошибка: В задаче про ленты (или доски) считают, что $R$ разрезов дают $R + 1$ кусок, даже если изначально было несколько объектов.

Правильно: Формула $N + 1$ работает только для одного исходного объекта. Если их было $K,$ то кусков станет $K + R .$ Всегда перечитывай условие: "одну палку" или "несколько палок"?

Что запомнить

Распилы: $Куски = Разрезы + Изначальное количество объектов .$
Процесс с откатом: в день финиша отката нет. Алгоритм - отними рывок последнего шага от цели, поделив остаток на чистый прогресс, и добавь $1$ день.
Кто-то работает быстрее в $k$ раз: при одинаковом объёме работы более быстрый тратит в $k$ раз меньше времени; за одинаковое время он делает в $k$ раз больший объём.
"В" vs "на": "в $k$ раз" - это умножение, "на $k$ " - это сложение. Перечитывай предлог в условии.
Таблица - твой друг. Для процессов с повторением заполни 2-3 строки вручную, прежде чем писать формулу.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 15 минут. Это одна из самых нестандартных задач варианта.
Когда решать: оставь на конец экзамена. Она требует вдумчивости и может "съесть" время, нужное на более простые алгоритмические номера.
Рисуй и заполняй таблицу. Не пытайся решить в уме. Нарисуй чёрточки, палочки, заполни первые 2-3 строки процесса. Визуализация спасает от ошибок на $\pm 1 .$
Подставь ответ обратно. Если решил, обязательно проверь: подставь число в условие и "прокрути" всю историю от начала до конца. Если по любой строке не сходится - ответ неверен.
Проверяй предлоги. Перед решением подчеркни в условии слова "в" и "на" - это главные источники арифметических ошибок в этом номере.

Проверь себя0 из 4

1.Бревно распилили, сделав 6 поперечных распилов. Сколько получилось кусков?

2.Было 4 одинаковые доски, всего сделали 10 распилов. Сколько кусков получилось?

3.Улитка за день поднимается на 4 м, за ночь сползает на 1 м. Высота столба 10 м. На какой день она впервые окажется наверху?

4.Мастер красит забор в 3 раза быстрее ученика. Во сколько раз меньше времени мастер потратит на тот же забор?