Скорость изменения величин

Скорость изменения величин по графику (Задание 7)

В задании 7 часто встречается график величины, которая меняется со временем: объём производства завода по месяцам, температура в течение дня, курс валюты по дням, количество добытой нефти. По такому графику тебя попросят найти период с наибольшим ростом, наибольшим падением или посчитать среднюю скорость изменения на участке.

Сложные формулы тут не нужны. Всё сводится к двум действиям: считать разность двух значений и сравнивать полученные числа между собой. Главное — не запутаться в направлении отсчёта и в знаках.

Основные понятия и формулы

У любого графика по горизонтали отложено время (дни, месяцы, часы), а по вертикали — сама величина (тыс. тонн, градусы, рубли). Чтобы узнать, на сколько величина изменилась за период, посчитай разность её значений на концах периода.

Когда спрашивают, насколько быстро меняется величина, нужна средняя скорость изменения. Это то же самое изменение, но в расчёте на одну единицу времени.

Крутизна участка на графике и показывает скорость: где линия идёт резко вверх — рост большой, где полого — маленький. Визуальное сравнение крутизны часто быстрее вычислений.

Алгоритм решения

Почти все задачи по графику решаются одной схемой.

Примеры решения задач

Три типичных сюжета: наибольший рост, наибольшее падение и средняя скорость изменения.

ПРИМЕР 1

Наибольший рост температуры

Условие:
На графике показана температура воздуха в некотором городе с понедельника по пятницу. По горизонтали — день недели, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определи, между какими двумя соседними днями температура выросла сильнее всего.

Решение:

Выпишем температуру по дням: Пн $=2\text{,}$ Вт $=5\text{,}$ Ср $=4\text{,}$ Чт $=12\text{,}$ Пт $=10\text{.}$

Посчитаем $\Delta y$ для каждой пары соседних дней:

• Пн $\to$ Вт: $5-2=+3$

• Вт $\to$ Ср: $4-5=-1$

• Ср $\to$ Чт: $12-4=+8$

• Чт $\to$ Пт: $10-12=-2$

Нас просят наибольший рост — берём самое большое положительное число. Это $+8$ на участке Ср $\to$ Чт.

Ответ: между средой и четвергом

Теперь более типичная задача ЕГЭ, где нужно найти период с наибольшим падением и выписать число.

ПРИМЕР 2

Наибольшее падение производства

Условие:
На графике показан объём производства некоторого завода (в тысячах единиц продукции) по месяцам первого полугодия. Определи, на сколько тысяч единиц объём уменьшился за тот месяц, когда производство упало сильнее всего.

В следующем примере нужна не сама разность, а скорость — изменение, делённое на длину периода.

ПРИМЕР 3

Средняя скорость изменения курса

Условие:
На графике показан курс некоторой валюты в рублях за рабочую неделю. По горизонтали — номер рабочего дня от $1$ до $5\text{,}$ по вертикали — курс в рублях. Найди среднюю скорость изменения курса с первого по пятый день (в рублях за день).

Частые ошибки

Что запомнить

• Изменение за период — это $y_{\text{конец}}-y_{\text{начало}}\text{.}$ Знак показывает рост ($+$) или падение ($-$).

• Наибольший рост — самое большое положительное $\Delta y\text{.}$ Наибольшее падение — самое большое по модулю отрицательное.

• Средняя скорость — это $\frac{\Delta y}{\Delta x}\text{:}$ изменение, делённое на длину периода.

• Считай по узловым точкам сетки. Если значение "между клетками" — ищи соседний узел, скорее всего, вопрос про него.

• Крутизна = скорость. Самый крутой участок вверх — самый большой рост. Самый крутой вниз — самое большое падение.

Стратегия на экзамене