Шар — ЕГЭ база

Шар (Задание 13)

В задании 13 базового ЕГЭ по математике проверяется знание стереометрии. Часто здесь встречаются задачи на сравнение фигур: цилиндров, конусов, призм и шаров. Задачи про шар - одни из самых приятных на экзамене, потому что для них достаточно знать всего две формулы и одно простое правило масштабирования.

Суть темы

Шар - это идеальная геометрическая фигура в трёхмерном пространстве, похожая на круглый мяч или апельсин.

Поверхность шара называется сферой (как оболочка футбольного мяча). Все точки на поверхности находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара и обозначается буквой $R .$

Отрезок, который соединяет две точки на поверхности и проходит ровно через центр, называется диаметром ( $D$ ). Диаметр всегда ровно в два раза больше радиуса: $D = 2 R .$

Если разрезать шар плоскостью (например, арбуз ножом), в разрезе получится круг. Такой разрез называют сечением шара плоскостью.

Основные формулы

Все формулы для шара есть в справочных материалах, которые выдадут тебе на экзамене. Их не нужно зубрить наизусть, но важно уметь ими пользоваться.

ВАЖНОЕ

Объём шара

V = \frac{4}{3} π R^{3}

Показывает, сколько места шар занимает в пространстве (например, сколько воды в него поместится).

ВАЖНОЕ

Площадь поверхности шара

S = 4 π R^{2}

Показывает, сколько материала нужно, чтобы покрыть шар снаружи (например, сколько краски уйдет на глобус).

Алгоритм решения

Задачи на сравнение двух шаров можно решать длинным путём (через формулы) или коротким (через правило масштабирования). Короткий путь быстрее и надёжнее.

АЛГОРИТМ

Как решать задачи на сравнение шаров

1. Найди отношение радиусов. Раздели радиус большего шара на радиус меньшего. Это и есть число $k$ (коэффициент подобия).
2. Посмотри, что нужно найти. Если просят сравнить площади поверхностей, возведи $k$ во вторую степень ( $k^{2}$ ).
3. Если просят сравнить объёмы, возведи $k$ в третью степень ( $k^{3}$ ).
4. Запиши ответ. Полученное число - это и есть ответ на вопрос «во сколько раз».

Примеры решения

Посмотрим, как алгоритм работает на практике. От простого к сложному.

ПРИМЕР 1

Футбольный и теннисный мяч

Условие:
Радиус футбольного мяча равен $10$ см, а радиус теннисного — $2$ см. Во сколько раз площадь поверхности футбольного мяча больше площади поверхности теннисного?

Решение:

1. Найдём коэффициент подобия — отношение радиусов:

k = \frac{10}{2} = 5

Футбольный мяч в $5$ раз больше по радиусу.
2. Сравнивают площади поверхностей. Площадь зависит от радиуса в квадрате ( $R^{2}$ ), поэтому возводим $k$ во вторую степень:

k^{2} = 5^{2} = 25

Проверка через формулы (если правило подобия подзабылось):
Площадь мяча побольше: $S_{1} = 4 π \cdot 1 0^{2} = 400 π .$
Площадь мяча поменьше: $S_{2} = 4 π \cdot 2^{2} = 16 π .$
Отношение: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{400 π}{16 π} = 25 .$ Число $π$ сократилось.

Ответ: $25$

ПРИМЕР 2

Апельсин и арбуз

Условие:
Имеются апельсин и арбуз идеальной шарообразной формы. Диаметр апельсина равен $8$ см, а диаметр арбуза — $24$ см. Во сколько раз объём арбуза больше объёма апельсина?

ПРИМЕР 3

Объём шарика-игрушки

Условие:
Шарик-игрушка имеет форму шара радиуса $3$ см. Найди его объём в кубических сантиметрах. В ответе прими $π = 3 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали степени для площади и объёма

Ошибка: Радиус вырос в $3$ раза, и ученик пишет, что объём вырос в $3^{2} = 9$ раз (вместо $27$ ), или что площадь выросла в $3^{3} = 27$ раз (вместо $9$ ).

Правильно: Всегда держи в голове единицы измерения. Площадь измеряется в квадратных метрах (м $^{2}$ ) - значит, для сравнения площадей нужна вторая степень ( $k^{2}$ ). Объём измеряется в кубических метрах (м $^{3}$ ) - значит, для объёма нужна третья степень ( $k^{3}$ ).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли возвести в степень вообще

Ошибка: Ученик находит отношение радиусов $12 : 4 = 3$ и сразу пишет «3» в бланк ответов, забывая, что площадь и объём растут не линейно.

Правильно: Внимательно читай вопрос. Если спрашивают, во сколько раз больше радиус или диаметр - ответ действительно $3 .$ Но если слово «площадь» или «объём» - обязательно возводи число в нужную степень.

Что запомнить

$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ — объём шара. $S = 4 π R^{2}$ — площадь поверхности.
Площадь поверхности — это размер "кожуры" шара. Она масштабируется в квадрате ( $k^{2}$ ).
Объём — это размер внутреннего пространства. Он масштабируется в кубе ( $k^{3}$ ).
Число $π$ в задачах типа «во сколько раз» можно смело игнорировать — оно сократится. Если нужно считать $V$ или $S$ напрямую, в условии укажут значение $π$ (обычно $π = 3$ ).
Отношение диаметров всегда в точности равно отношению радиусов.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 5-8 минут. Это одна из самых быстрых задач по стереометрии.
Стоит ли решать сразу: Да, задача отлично подходит для решения в первом круге.
Быстрая проверка: Спроси себя: «Я ищу площадь или объём?». Площадь — квадрат. Объём — куб. Возвёл ли я коэффициент в нужную степень?

Проверь себя0 из 4

1.Радиус одного шара в

2

раза больше радиуса другого. Во сколько раз его объём больше?

2.Во сколько раз площадь поверхности шара радиуса

9

больше площади поверхности шара радиуса

3 ?

3.Диаметр первого шара равен

10,

второго —

5 .

Чему равно отношение их радиусов?

4.Чему равен объём шара радиуса

2,

если принять

π = 3 ?