Решение неравенств

Решение неравенств (Задание 18)

Задание 18 ЕГЭ-база проверяет, умеешь ли ты решать простейшие неравенства и понимать, какие числа попадают в решение. Часто формулировка звучит так: "Какое из чисел $-3\text{,}$ $0\text{,}$ $2\text{,}$ $5$ принадлежит решению неравенства?". Иногда — более длинная: "Установи соответствие между неравенствами и их решениями". В обоих случаях задача сводится к одному — нужно правильно определить промежуток, который является решением.

Суть темы

Неравенство похоже на уравнение, но вместо знака $=$ стоят знаки $<\text{,}$ $>\text{,}$ $⩽$ или $⩾\text{.}$ Ответ — не одно число, а целый кусок числовой прямой, который называется промежутком.

Промежуток записывают двумя способами:

• круглые скобки ( и ) — точка не входит в промежуток (строгое неравенство $<\text{,}$ $>$)

• квадратные скобки [ и ] — точка входит в промежуток (нестрогое неравенство $⩽\text{,}$ $⩾$)

В заданиях базы ответ — номер правильного варианта (если это соответствие) или число, которое принадлежит решению (если проверка принадлежности).

Ключевые правила

Есть одно главное правило, из-за которого чаще всего совершают ошибки.

Для квадратных неравенств и выражений со скобками работает метод интервалов.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три типичных сюжета.

ПРИМЕР 1

Линейное неравенство

Условие:
Какое из чисел $-4\text{,}$ $-1\text{,}$ $2\text{,}$ $6$ принадлежит решению неравенства $7-2x⩾3\text{?}$

Решение:

Решаем неравенство. Переносим $7$ направо, чтобы неизвестное осталось слева:

$$-2x⩾3-7$$$$-2x⩾-4$$

Делим обе части на $-2\text{.}$ Число отрицательное, значит знак переворачивается:

$$x⩽2$$

Решение — промежуток $(-\infty ;2]\text{.}$ Проверим числа:

• $-4⩽2$ — верно, подходит

• $-1⩽2$ — верно, подходит

• $2⩽2$ — верно, подходит (нестрогое неравенство)

• $6⩽2$ — неверно

Задача спрашивает одно число — первое подходящее в списке. Но обычно в ЕГЭ среди вариантов подходит ровно один. Здесь условие я бы уточнил: если требуется наибольшее принадлежащее — это $2\text{,}$ если наименьшее — $-4\text{.}$

Ответ: $2$

Частые ошибки

Что запомнить

• Круглая скобка ( — точка выколота (строгое неравенство). Квадратная [ — входит (нестрогое).

• Умножение или деление на отрицательное — знак переворачивается.

• Для произведения скобок $(x-a)(x-b)<0\text{:}$ решение — между корнями.

• Для $(x-a)(x-b)>0\text{:}$ решение — "снаружи" корней.

• Знаменатель дроби никогда не равен нулю — точку всегда выколи, даже при $⩽$ или $⩾\text{.}$

• Бесконечность всегда с круглой скобкой: $(-\infty ;5]\text{,}$ $(3;+\infty )\text{.}$

Стратегия на экзамене