Задание 18: Неравенства — ЕГЭ база

Задание 18: Неравенства и числовые промежутки

Задание 18 проверяет твоё умение работать с неравенствами и оценивать значения чисел. Это задание на установление соответствия: тебе даны четыре элемента (неравенства или числа) и четыре варианта ответа (готовые решения или отрезки числовой оси). Нужно найти пару для каждого элемента.

В бланк ответов записывается последовательность из четырёх цифр.

Какие темы встречаются

В этом задании три сюжета, но на практике они сводятся к двум навыкам: решить неравенство или оценить число.

1. Решение неравенств (около 80% задач). Даны четыре похожих неравенства (показательные, логарифмические, квадратные или дробно-рациональные) и четыре интервала с их решениями.
2. Числовые промежутки (около 20% задач). Дано "неудобное" число (например, $m = lo g_{2} 5$ или $m = 10$ ). Нужно прикинуть его примерное значение и понять, в какой отрезок попадёт каждое из выражений вроде $m^{2},$ $m - 2$ или $\frac{4}{m} .$
3. Задачи с параметром (редко). По сути это те же числовые промежутки: буква $m$ задана логарифмом или корнем, работа идёт через оценку.

ВАЖНОЕ

Оценка корней и логарифмов

Чтобы оценить корень, зажми его между ближайшими извлекаемыми корнями:

9 < 10 < 16 ⟹ 3 < 10 < 4

Чтобы оценить логарифм, зажми его между ближайшими степенями основания:

lo g_{2} 4 < lo g_{2} 5 < lo g_{2} 8 ⟹ 2 < lo g_{2} 5 < 3

ВАЖНОЕ

Знак неравенства при преобразованиях

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства переворачивается:

- x > 3 ⟺ x < - 3

Для показательного $a^{f (x)} < a^{g (x)} :$

если $a > 1,$ то $f (x) < g (x)$ (знак сохраняется);
если $0 < a < 1,$ то $f (x) > g (x)$ (знак меняется).

Для логарифмического $lo g_{a} x$ правило то же: при $a > 1$ монотонность возрастающая, при $0 < a < 1$ - убывающая.

Потяни ползунок a через единицу: график из возрастающего становится убывающим - вот откуда переворот знака.

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 18

1. Определи тип задачи. Это решение неравенств или оценка чисел?
2. Если это неравенства:

Не пытайся решить всё в уме. Выпиши первое неравенство и честно его реши.
Найди его ответ среди вариантов и зачеркни этот вариант (он больше не понадобится).
Выбери следующее неравенство, которое кажется самым простым (например, если два из них с плюсами, а два с минусами).
Если решил три из четырёх - четвёртое можно не решать, оно совпадёт с оставшимся ответом методом исключения.
3. Если это оценка чисел:
Выясни примерное значение буквы. Например, если $m = 10,$ запиши себе: $m \approx 3, 1 .$
Подставь это примерное значение в каждое выражение (А, Б, В, Г).
Вычисли результат и посмотри, в какой из предложенных отрезков он попадает.
4. Заполни таблицу под буквами А Б В Г и перенеси эти четыре цифры в бланк.

Примеры решения

Посмотрим на оба типа задач.

ПРИМЕР 1

Решение неравенств

Условие:
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
А) $2^{x} > 8$
Б) $0, 5^{x} > 8$
В) $0, 5^{x} < 8$
Г) $2^{x} < 8$

Решения:
1) $x < - 3$
2) $x > - 3$
3) $x < 3$
4) $x > 3$

ПРИМЕР 2

Оценка числовых промежутков

Условие:
Число $m$ равно $lo g_{3} 10 .$ Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие.

Числа:
А) $5 - m$
Б) $m^{2}$
В) $m - 3$
Г) $- \frac{4}{m}$

Отрезки:
1) $[- 2; - 1]$
2) $[- 1; 0]$
3) $[2; 3]$
4) $[4; 5]$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака при делении на отрицательное число

Ошибка: При решении неравенства $- x > 5$ пишут ответ $x > - 5 .$
Правильно: Если умножаешь или делишь обе части неравенства на отрицательное число, знак самого неравенства обязательно переворачивается! Верно: $x < - 5 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытое ОДЗ в логарифмах

Ошибка: Решают $lo g_{2} x < 3$ просто как $x < 2^{3} ⟹ x < 8 .$
Правильно: Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля ( $x > 0$ ). Правильный ответ будет двойным неравенством: $0 < x < 8 .$ В вариантах ответа это часто пишут как интервал $(0; 8) .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: около 8 минут.
Приоритет: Средний. Решай после того, как закроешь самую простую часть работы (вычисления, таблицы, простая геометрия), но до текстовых задач 19-21.
Как быстро проверить ответ: Если в неравенствах есть симметрия (например, $2^{x}$ и $0, 5^{x}$ ), то и их ответы должны быть "симметричными" (противоположными). Проверь, не назначил ли ты двум разным неравенствам один и тот же номер ответа - в этом задании все цифры в ответе должны быть разными!
Когда стоит пропустить: Если попались логарифмические неравенства, а ты совсем не помнишь, как с ними работать - отложи задачу на конец экзамена.

Проверь себя0 из 4

1.Реши неравенство

- x > 5 .

2.Между какими целыми числами лежит

lo g_{2} 5 ?

3.Реши неравенство

0, 5^{x} > 8 .

4.Каково решение неравенства

lo g_{2} x < 3

с учётом ОДЗ?