Разные задачи — ЕГЭ база

Арифметика и смешанные вычисления (Задание 14)

Задание 14 базового ЕГЭ по математике проверяет базовую вычислительную грамотность. Здесь встречаются примеры с обыкновенными и десятичными дробями, степенями и порядком действий. Никаких сложных функций или уравнений - только числа и аккуратность.

Суть темы

Вся вычислительная часть базового экзамена сводится к одному главному правилу: ответ должен быть целым числом или конечной десятичной дробью. В бланке ответов просто нет места для обыкновенной дроби вида $\frac{2}{3} .$

Поэтому главная задача в этом номере - уметь переводить обыкновенные дроби в десятичные и грамотно выполнять базовые арифметические действия, соблюдая их порядок.

Основные правила и факты

Для успешного решения нужно твёрдо помнить приоритет операций и базовые переводы дробей.

ВАЖНОЕ

Порядок действий

1. Сначала выполняются действия в скобках.
2. Затем вычисляются степени и корни.
3. Потом - умножение и деление (слева направо).
4. В самом конце - сложение и вычитание (слева направо).

Схема-лесенка приоритета операций из четырёх ступеней сверху

Поскольку ответ записывается в виде десятичной дроби, очень выгодно сразу переводить обыкновенные дроби в десятичные. Запомни эти "золотые" переводы:

ВАЖНОЕ

Частые переводы дробей

\frac{1}{2} \frac{1}{10} \frac{1}{100} = 0, 5 = 0, 1 = 0, 01 \frac{1}{5} \frac{2}{5} \frac{3}{5} = 0, 2 = 0, 4 = 0, 6 \frac{1}{4} \frac{3}{4} \frac{1}{8} = 0, 25 = 0, 75 = 0, 125

Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Также в заданиях с дробями часто используют свойства нуля, на которых пытаются подловить невнимательных учеников.

ВАЖНОЕ

Свойства нуля при делении

Если ноль разделить на любое ненулевое число $a,$ получится ноль:

\frac{0}{a} = 0 (при a \neq = 0)

Делить на ноль нельзя (таких примеров на ЕГЭ не дадут, если только не просят найти область допустимых значений).

Алгоритм решения

При столкновении со смешанным выражением (где есть и запятые, и дробные черты), действуй по шагам:

АЛГОРИТМ

Как решать примеры из задания 14

1. Определи порядок действий. Расставь цифры 1, 2, 3 над знаками операций.
2. Приведи всё к одному формату. Если в примере есть и обыкновенные дроби (с чертой), и десятичные (с запятой) - переведи обыкновенные в десятичные. Это сработает в $95%$ случаев.
3. Раскрой скобки со знаками. Помни, что минус на минус даёт плюс.
4. Выполни вычисления. Лучше считать столбиком на черновике, чтобы не потерять разряды.
5. Проверь знак итога. Часто теряют минус в самом конце.

Примеры решения

Разберём три задачи от самых простых к более комплексным.

ПРИМЕР 1

Скобки и дроби

Условие:
Найди значение выражения $(\frac{7}{2} - 1, 25) \cdot 4 .$

Решение:
Определим порядок действий: сначала скобки, затем умножение.

1. Переведём $\frac{7}{2}$ в десятичную дробь:

\frac{7}{2} = 3, 5

2. Посчитаем выражение в скобках:

3, 5 - 1, 25 = 2, 25

3. Выполним умножение:

2, 25 \cdot 4 = 9

Ответ: $9$

ПРИМЕР 2

Порядок действий со степенью

Условие:
Найди значение выражения $\frac{3 ^{2} + 11}{5} .$

ПРИМЕР 3

Смешанные форматы и знаки

Условие:
Найди значение выражения $0, 6 + \frac{7}{4} - (- \frac{1}{2}) - 2, 1 .$

Частые ошибки

В номере 14 редко ошибаются в самих правилах математики, чаще подводят внимательность и знаки.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря минуса при раскрытии скобок

Ошибка: В выражении $2 - (- \frac{1}{2})$ просто убирают скобки и пишут $2 - 0, 5 = 1, 5 .$

Правильно: Знак перед скобкой относится к числу внутри. Минус на минус всегда даёт плюс. Выражение превращается в $2 + 0, 5 = 2, 5 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильное выравнивание запятых при счёте столбиком

Ошибка: При вычитании $1, 7 - 0, 85$ записывают числа так, что последняя цифра под последней цифрой (как с целыми числами), получая неверный результат.

Правильно: При сложении и вычитании десятичных дробей столбиком запятая должна стоять строго под запятой. Пустые места заполняются нулями:
$1, 70 - 0, 85 = 0, 85 .$

Сравнительная схема вычитания десятичных дробей столбиком

Что запомнить

Возведение в квадрат $x^{2}$ - это умножение $x \cdot x,$ а не $x \cdot 2 .$
Всегда переводи обыкновенные дроби в десятичные, если это возможно. В базовом ЕГЭ это возможно всегда.
Выучи наизусть переводы дробей: $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{4},$ $\frac{3}{4},$ пятые и десятые доли.
Ноль разделить на число - будет ноль.
Два идущих подряд минуса $- (- a)$ превращаются в плюс.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 4-5 минут.
Приоритет: Это одно из самых простых и понятных заданий. Решай его в первой группе задач (номера 1-8).
Самопроверка: Если ты считал всё в обыкновенных дробях, и в конце получилось $\frac{7}{3}$ - ищи ошибку. Ответ в базе обязан переводиться в десятичную дробь. Знаменатель итоговой несократимой дроби должен состоять только из двоек и пятёрок.

Проверь себя0 из 4

1.Как записывается

\frac{1}{8}

десятичной дробью?

2.Чему равно

2 - (- \frac{1}{2}) ?

3.Что нужно сделать первым в выражении

5 + 3^{2} \cdot 2 ?

4.В ответе получилась несократимая дробь

\frac{7}{3} .

Что это значит на базовом ЕГЭ?