Задание 14: Вычисления — ЕГЭ база

Задание 14. Вычисления

Задание 14 проверяет базовые навыки арифметики: сложение, вычитание, умножение и деление. Это «разминочный» номер — тренируется аккуратность и порядок действий. Задание оценивается в 1 балл, ответ всегда целое число или конечная десятичная дробь (например, $- 34$ или $29, 1$ ).

Какие темы встречаются

В этом номере нет ни функций, ни логарифмов, ни переменных. Все задачи делятся на три подтемы:
1. Действия с обыкновенными дробями и смешанными числами — встречается чаще всего (около $\frac{2}{3}$ задач банка).
2. Действия с десятичными дробями — встречается реже, но требует предельной аккуратности с запятой.
3. Смешанные выражения — где рядом стоят и обыкновенная, и десятичная дробь.

Ключевые правила

Чтобы не ошибиться в вычислениях, нужно помнить два главных правила работы с дробями.

ВАЖНОЕ

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}

Складывать и вычитать можно только дроби с одинаковым знаменателем. Если знаменатели разные, сначала приведи дроби к общему.

ВАЖНОЕ

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}

Умножать и делить смешанные числа можно только после их перевода в неправильную дробь.

Наглядная схема перевода смешанного числа в неправильную дро

✓СОВЕТ

Перевод дробь

\leftrightarrow

десятичная

Чтобы перевести десятичную в обыкновенную, запиши цифры после запятой в числитель, а в знаменатель — $10,$ $100,$ $1000$ по числу цифр: $0, 4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5},$ $2, 5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} .$ Обратно — домножь дробь так, чтобы в знаменателе получилось $10,$ $100$ или $1000 :$ $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0, 75,$ $\frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 0, 28 .$

Общий алгоритм решения

Вычисления пройдут гладко, если действовать по строгому плану.

АЛГОРИТМ

Алгоритм вычисления числовых выражений

1. Расставь порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, и только в конце - сложение и вычитание.
2. Выбери удобный формат. Если в примере есть и десятичные, и обыкновенные дроби, переведи всё в один вид. Чаще всего удобнее перевести десятичные в обыкновенные (например, $2, 5 = \frac{5}{2}$ ).
3. Выполни действия по шагам. Не пытайся посчитать всё сразу в уме. Записывай каждый шаг отдельно или веди цепочку равенств.
4. Приведи результат к формату ЕГЭ. Если итоговый ответ получился в виде обыкновенной дроби, раздели числитель на знаменатель столбиком или домножь дробь так, чтобы в знаменателе получилось $10,$ $100$ или $1000 .$

Примеры решения

Разберём по одному типичному примеру из каждой подтемы — от простого к более сложному.

ПРИМЕР 1

Действия с десятичными дробями

Найди значение выражения $4, 8 \cdot 6, 5 - 2, 1 .$

Решение:
1. Первым выполняется умножение: $4, 8 \cdot 6, 5 .$
Умножим числа столбиком, не обращая внимания на запятые: $48 \cdot 65 = 3120 .$
В множителях суммарно два знака после запятой (один у $4, 8$ и один у $6, 5$ ). Значит, в ответе нужно отделить справа два знака: $31, 20 .$ Нуль на конце можно отбросить, получаем $31, 2 .$

2. Вторым выполняется вычитание: $31, 2 - 2, 1 .$
При вычитании десятичных дробей запятая пишется строго под запятой:
$31, 2 - 2, 1 = 29, 1 .$

Ответ: $29, 1$

ПРИМЕР 2

Действия с обыкновенными дробями

Найди значение выражения $(\frac{3}{4} - 2 \frac{1}{6}) \cdot 24 .$

ПРИМЕР 3

Смешанное выражение

Найди значение выражения $0, 4 + \frac{3}{5} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Умножение смешанных чисел

Ошибка: Умножать целые части отдельно, а дробные - отдельно. Например: $1 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{6} = 2 \frac{1}{3} .$

Правильно: Сначала обязательно переведи оба числа в неправильные дроби.
$1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2},$ а $2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3} .$
Тогда $\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{6} = 4 .$ Верный ответ — $4,$ а не $2 \frac{1}{3} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Запятые при сложении и умножении

Ошибка: При сложении десятичных дробей выравнивать их по правому краю (как при умножении), а не по запятой.

Правильно: При сложении и вычитании - запятая под запятой. Пустые места заполняются нулями. При умножении выравниваем по правому краю, а в конце считаем общее количество знаков после запятой у обоих множителей.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: около $5$ минут.
Приоритет: высокий. Это идеальное задание для «разминки» в самом начале экзамена — оно помогает успокоиться и включиться в работу.
Самопроверка (прикидка): всегда оценивай ответ на здравый смысл. В Примере 1 ты умножаешь $4, 8$ на $6, 5 .$ Округли грубо: $5 \cdot 6 = 30 .$ Промежуточный результат $31, 2$ очень близок к $30 .$ Если получится $312$ или $3, 12,$ прикидка сразу покажет, что с запятой ошибка.
Внимание к знакам: перед тем как вписать ответ в бланк, проверь, не потерялся ли минус — особенно если в скобках из меньшего числа вычиталось большее.
Формат бланка: обыкновенную дробь в ответе всегда переводи в десятичную. Если десятичная не получается (знаменатель $3,$ $7,$ $11$ и т.п.) — значит, где-то арифметическая ошибка, пересчитай.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

0, 4 + \frac{3}{5} ?

2.Как правильно умножить смешанные числа

1 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{2}{3} ?

3.При вычислении

4, 8 \cdot 6, 5

получилось

3120

(без запятых). Сколько знаков нужно отделить справа?

4.Ответ получился

\frac{3}{4} .

Что записать в бланк ЕГЭ?