Разные задачи — ЕГЭ база

Разные задачи (Задание 10)

Задание 10 проверяет умение работать с комбинациями простых фигур: круг внутри прямоугольника, клумба из квадрата и полукругов, кольцо для метания, угол между касательной и хордой. Никаких доказательств и сложных построений - только аккуратная сборка готовых формул площади и длины.

Суть темы

"Разные задачи" - это сюжеты, где прямоугольник, треугольник и окружность встречаются в одной фигуре. Главный приём - разобрать составную фигуру на простые части: сложить площади, если фигура собрана из кусков, или вычесть, если одна фигура вырезана из другой.

Часто в условии сказано: "в ответе считать $π = 3$ ". Это упрощение, характерное именно для базового уровня. Ты не теряешь баллы, а просто подставляешь $3$ везде, где встречается $π .$

Основные формулы и факты

ВАЖНОЕ

Круг: длина и площадь

L = 2 π R, S = π R^{2}

где $R$ - радиус. При условии " $π = 3$ " получаешь $L = 6 R$ и $S = 3 R^{2} .$

ВАЖНОЕ

Полукруг и сектор

Половина круга даёт половину длины окружности и половину площади:

L_{полуокр} = π R, S_{полукр} = \frac{π R ^{2}}{2}

Для сектора с углом $α^{\circ} :$ $S = \frac{α}{360} \cdot π R^{2} .$

ВАЖНОЕ

Кольцо (два концентрических круга)

S_{кольца} = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2})

где $R$ - внешний радиус, $r$ - внутренний. Формула $R^{2} - r^{2} = (R - r) (R + r)$ часто ускоряет счёт.

ВАЖНОЕ

Касательная и радиус

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания:

∠ (O M, ℓ) = 9 0^{\circ}

где $O$ - центр, $M$ - точка касания, $ℓ$ - касательная. Из этого свойства выходит прямоугольный треугольник - опорный приём для почти всех задач с касательной.

Окружность с центром O и радиусом OM, проведённым в точку ка

iЗАМЕЧАНИЕ

Составная фигура

Если сложная фигура склеена из простых (прямоугольник + два полукруга, квадрат + 4 сектора), её площадь - сумма площадей частей. Если одна фигура вырезана внутри другой (дорожка вокруг газона, кольцо), площадь - разность.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как разобрать составную фигуру

1. Сделай чертёж. Даже грубый от руки - он сразу покажет, что складывать, а что вычитать.
2. Разбей фигуру на простые части. Обычно это прямоугольник, треугольник, круг, полукруг, сектор или кольцо.
3. Выпиши формулу для каждой части. Не считай сразу - сначала составь выражение символами ( $S_{1} + S_{2}$ или $S_{внеш} - S_{внутр}$ ).
4. Подставь числа. Если в условии сказано " $π = 3$ " - подставляй $3,$ не оставляй $π$ в ответе.
5. Оцени результат. Площадь клумбы $5000$ м² или кольца $0, 01$ м² - сигнал ошибки в единицах или в формуле.

Примеры решения

Разберём три типовых сюжета: от простого составного контура до кольца и касательной.

ПРИМЕР 1

Разметка беговой дорожки

На школьном стадионе беговая дорожка имеет форму прямоугольника с двумя полукругами на коротких сторонах. Длинная сторона прямоугольника $80$ м, короткая - $40$ м. Найди длину одной полной дорожки (периметр фигуры). В ответе считай $π = 3 .$

Схема стадиона: прямоугольник с двумя полукругами

Решение:

1. Контур стадиона состоит из двух длинных сторон прямоугольника и двух полукругов на коротких сторонах.
2. Два полукруга с диаметром $40$ м дают полную окружность радиуса $R = 20$ м:

L_{окр} = 2 π R = 2 \cdot 3 \cdot 20 = 120 м

3. Две длинные стороны: $2 \cdot 80 = 160$ м.
4. Общая длина дорожки:

P = 160 + 120 = 280 м

Ответ: $280$

ПРИМЕР 2

Кольцо для метания

Площадка для метания диска имеет форму кольца: внешний радиус $R = 5$ м, внутренний $r = 3$ м. Найди площадь кольца в квадратных метрах. В ответе считай $π = 3 .$

Кольцо между двумя концентрическими окружностями

ПРИМЕР 3

Клумба из квадрата и полукругов

Клумба имеет форму квадрата со стороной $4$ м, к каждой стороне которого снаружи пристроен полукруг. Найди площадь клумбы в квадратных метрах. В ответе считай $π = 3 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли про условие "пи равно 3"

Ошибка: Подставляют $π \approx 3, 14$ или оставляют $π$ в ответе, хотя в условии сказано "в ответе считать $π = 3$ ". На базовом уровне ответом должно быть конкретное число - $π$ в ответе не принимается.

Правильно: Прочитай последнюю строку условия. Если там " $π = 3$ " - подставляй $3 .$ Все площади и длины получатся круглыми.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Удвоили или потеряли полукруги

Ошибка: В задаче про стадион считают длину как " $2$ полуокружности $= 2 \cdot 2 π R = 4 π R$ ". Это неверно: две полуокружности собираются в одну полную окружность длины $2 π R,$ а не в две.

Правильно: Два полукруга с одним и тем же диаметром всегда склеиваются в целый круг. Четыре полукруга с одним диаметром - это два круга.

Что запомнить

Круг при $π = 3 :$ длина $L = 6 R,$ площадь $S = 3 R^{2} .$ Подставляй сразу.
Составная фигура: сначала разбей на простые части (квадрат, треугольник, круг, полукруг), потом суммируй или вычитай площади.
Кольцо: $S = π (R^{2} - r^{2}) .$ Считай $R^{2} - r^{2}$ отдельно, чтобы не запутаться со скобками.
Полукруги-близнецы: два полукруга одинакового радиуса собираются в один круг. Не удваивай случайно.
Касательная: перпендикулярна радиусу в точке касания. Если видишь касательную - ищи прямой угол и прямоугольный треугольник.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 8-10 минут.
Задание 10 - шанс получить стабильный балл. Решай в первом проходе по варианту, не откладывай.
Чертёж обязателен. Даже если фигура "очевидна", нарисуй её на полях: сразу увидишь, какие части складывать.
Проверь единицы и $π .$ Если в условии указано " $π = 3$ ", в ответе не должно остаться $π .$ Если вышел нецелый странный ответ - ищи, где забыл подставить $3 .$
Оценка адекватности. Периметр школьной клумбы - метры, а не километры. Если получил $14000$ м - проверь, не спутал ли диаметр с радиусом.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна длина окружности радиуса

R = 10,

если считать

π = 3 ?

2.Площадь кольца с внешним радиусом

R = 4

и внутренним

r = 2

при

π = 3

равна:

3.Два полукруга с одинаковым диаметром вместе дают:

4.Касательная к окружности и радиус, проведённый в точку касания, образуют угол: