Прямоугольный параллелепипед — ЕГЭ база

Прямоугольный параллелепипед (Задание 11)

Прямоугольный параллелепипед - это самая привычная нам геометрическая фигура в повседневной жизни. Коробка из-под обуви, комната, кирпич, аквариум или системный блок компьютера - всё это прямоугольные параллелепипеды.

В задании 11 ЕГЭ базового уровня чаще всего просят найти либо объём такой фигуры (сколько воды поместится внутри), либо площадь её поверхности (сколько краски или картона понадобится для её покрытия).

Основные формулы

У прямоугольного параллелепипеда $6$ граней, и все они являются прямоугольниками. Из каждой вершины выходят три ребра. Эти три измерения обычно называют длиной ( $a$ ), шириной ( $b$ ) и высотой ( $c$ ).

ВАЖНОЕ

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём равен произведению трёх его измерений:

V = a \cdot b \cdot c

Для куба (у которого все рёбра равны $a$ ) формула упрощается: $V = a^{3} .$

ВАЖНОЕ

Площадь поверхности

Поверхность состоит из трёх пар одинаковых прямоугольников (пол и потолок, левая и правая стены, передняя и задняя стены). Общая площадь:

S = 2 (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)

Для куба: $S = 6 a^{2} .$

Алгоритм решения

Задачи про параллелепипед решаются в 3-4 действия.

АЛГОРИТМ

Как решать задачи с параллелепипедом

1. Пойми, что нужно найти. Если речь о вместимости, жидкости, массе - это объём ( $V$ ). Если о покраске, оклейке бумагой, материале для изготовления - это площадь поверхности ( $S$ ).
2. Проверь единицы измерения. Все размеры должны быть в одних единицах. Если даны метры и сантиметры, переведи метры в сантиметры (или наоборот) до начала вычислений.
3. Примени нужную формулу. Подставь числа и аккуратно посчитай.
4. Сделай финальный перевод (если просят). Например, раздели полученные кубические сантиметры на $1000,$ чтобы дать ответ в литрах.

Примеры решения

Начнём с чистой подстановки в формулу, затем перейдём к площади поверхности и классической задаче "деталь в баке" — она очень популярна на базовом экзамене.

ПРИМЕР 1

Объём комнаты

Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда: длина $6$ м, ширина $4$ м, высота потолка $3$ м. Найди объём комнаты в кубических метрах.

Решение:

1. Все три измерения даны в метрах, переводить ничего не нужно.
2. Перемножим их:

V = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72 м^{3}

3. Порядок умножения не важен. Удобно считать так: $6 \cdot 4 = 24,$ затем $24 \cdot 3 = 72 .$

Ответ: $72$

ПРИМЕР 2

Площадь поверхности

Для изготовления подарочной коробки (с крышкой) в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами $30$ см, $20$ см и $10$ см требуется плотный картон. Найди площадь поверхности этой коробки. Ответ дай в квадратных сантиметрах.

ПРИМЕР 3

Погружение детали в жидкость

В прямоугольный аквариум, дно которого имеет размеры $60$ см и $30$ см, налита вода. В воду полностью погрузили декоративный камень, после чего уровень воды поднялся на $4$ см. Найди объём камня в кубических сантиметрах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали объём и площадь поверхности

Ошибка: В задаче просят найти, сколько картона уйдёт на коробку, а в решении просто перемножают $a \cdot b \cdot c .$

Правильно: Картон покрывает коробку снаружи - это площадь поверхности $S = 2 (ab + b c + a c) .$ Внутри коробки пустота. Перемножать три числа $V = a \cdot b \cdot c$ нужно только тогда, когда мы "заполняем" фигуру (водой, песком, оцениваем вместимость).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Невнимательность с единицами измерения

Ошибка: Длина комнаты дана в метрах, а просят найти объём в дециметрах. Числа перемножают без перевода.

Правильно: Приведи все данные к одной единице. Внимательно читай вопрос: в чём именно просят дать ответ?

Что запомнить

Объём (вместимость): $V = a \cdot b \cdot c .$
Площадь поверхности (оболочка): $S = 2 (ab + b c + a c) .$ Считаем площади трёх разных прямоугольников, складываем и удваиваем.
Если тело погружают в воду, то его объём равен: $V = (площадь дна бака) \cdot (на сколько поднялась вода) .$ Знать изначальный уровень воды для этого не нужно!
Чтобы перевести кубические сантиметры в литры, нужно разделить число на $1000 .$

Стратегия на экзамене (для задания 11)

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: На задание 11 ориентируйся на $10$ - $12$ минут. Если задача свелась к подстановке в $V = ab c$ - уложишься за $3$ - $4$ минуты.
Рисунок: Всегда делай схематичный чертёж на черновике и подписывай стороны. Визуальная опора защищает от ошибки "не ту сторону взял за основание".
Порядок умножения: Сначала собирай удобные пары чисел. Например, в произведении $25 \cdot 17 \cdot 4$ логично сначала умножить $25 \cdot 4 = 100,$ а затем $100 \cdot 17 = 1700 .$
Самопроверка: Прикинь правдоподобие ответа. Объём школьного портфеля - несколько десятков тысяч см³. Объём комнаты - несколько десятков м³. Если твой ответ отличается от ожидаемого в тысячу раз, где-то потерялся перевод единиц.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен объём куба с ребром

3

см?

2.Найди площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями

1,

2

3 .

3.В аквариум с дном

50

см на

20

см погрузили камень, уровень воды поднялся на

3

см. Каков объём камня?

4.Сколько литров в

5000

см³?