Задание 11: Прикладная стереометрия — ЕГЭ база

О задании 11 (Прикладная стереометрия)

Задание 11 базового ЕГЭ по математике проверяет, как хорошо ты понимаешь объёмы и площади поверхностей в реальной жизни. Здесь не нужно строить сложные сечения или доказывать теоремы, как в профиле. Тебе предстоит работать с коробками, трубами, аквариумами, деталями и архитектурными копиями.

В этом задании от тебя требуется базовое понимание стереометрии: как посчитать объём воды, сколько краски уйдёт на деталь и как изменятся размеры фигуры, если её увеличить или уменьшить.

Какие темы встречаются

В банке ФИПИ для этого задания можно выделить несколько основных сюжетов:

Круглые тела (~30%). Трубы, колодцы, цилиндрические сосуды. Чаще всего просят найти площадь поверхности под покраску или объём.
Призмы и параллелепипеды (~30%). Коробки, аквариумы, баки. Популярны задачи на сравнение объёмов двух коробок разных пропорций.
Пирамиды (~23%). Египетские пирамиды, крыши, копии для музеев. Задачи на пропорции (подобие).
Составные многогранники (~17%). Детали необычной формы, кубы с вырезанными гранями. Нужно найти площадь поверхности или объём кусочной фигуры.

Общий алгоритм решения

Почти любая задача этого номера решается по чёткому плану:

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения прикладной стереометрии

1. Сделай чертёж. Нарисуй трубу, коробку или бак. Подпиши все известные измерения прямо на рисунке.
2. Проверь единицы измерения. Это самый важный шаг! Если длина дана в метрах, а ответ просят в квадратных сантиметрах - сразу переводи метры в сантиметры ( $1 м = 100 см$ ).
3. Определи, что именно нужно найти. Объём (вместимость, количество жидкости) или площадь поверхности (покраска, обшивка, материал)?
4. Запиши формулу. Выпиши нужную формулу для цилиндра, призмы или пирамиды.
5. Подставь числа и вычисли.

✓СОВЕТ

Лайфхак с "обхватом"

Если в задаче про трубу (цилиндр) дано слово "обхват" - это длина окружности основания. Формула площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок} = 2 π R \cdot h .$ Заметь, что $2 π R$ - это и есть обхват! Поэтому $S_{бок} = обхват \cdot длину .$ Искать радиус и $π$ не нужно!

Основные формулы

Выпиши эти формулы на черновик в начале экзамена - в справочных материалах их не будет. Все они из школьного учебника.

ВАЖНОЕ

Объёмы многогранников

V_{куба} = a^{3} V_{парал .} = a \cdot b \cdot c

V_{призмы} = S_{осн} \cdot h V_{пирам .} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h

У куба все рёбра равны. У прямоугольного параллелепипеда $a,$ $b,$ $c$ - три ребра из одной вершины. У пирамиды - тот же объём, что у призмы, но с множителем $\frac{1}{3} .$

ВАЖНОЕ

Объёмы круглых тел

V_{цил .} = π R^{2} \cdot h V_{конуса} = \frac{1}{3} π R^{2} \cdot h V_{шара} = \frac{4}{3} π R^{3}

$R$ - радиус основания (для цилиндра и конуса) или радиус шара. $h$ - высота.

ВАЖНОЕ

Площади поверхностей

S_{парал .} = 2 (ab + b c + a c) S_{куба} = 6 a^{2}

S_{бок . цил .} = 2 π R \cdot h S_{полн . цил .} = 2 π R \cdot h + 2 π R^{2}

Для призмы площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h .$

Примеры решения

Разберём два частых сюжета - один на круглые тела, другой на подобие пирамид.

ПРИМЕР 1

Объём бака (Круглые тела)

Условие:
Цилиндрический бак имеет радиус основания $40$ см и высоту $50$ см. Найди, сколько литров воды помещается в баке, если он заполнен до краёв. В одном литре $1000$ кубических сантиметров. Считай $π = 3, 14 .$

ПРИМЕР 2

Копия пирамиды (Пирамиды)

Условие:
Музей заказал уменьшенную копию памятника в форме правильной четырёхугольной пирамиды. Сторона основания оригинала равна $160$ м, высота оригинала равна $96$ м. Сторона основания копии равна $40$ см. Найди высоту копии в сантиметрах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не перевели единицы измерения

Ошибка: В задаче про аквариум размером $80 \times 25 \times 50$ см перемножить числа, получить $100000$ и записать это в ответ, когда спрашивали объём в литрах.

Правильно: Если в условии есть перевод ( $1$ литр $= 1000 см^{3}$ ), обязательно раздели полученный объём в кубических сантиметрах на $1000 .$ Верный ответ - $100$ литров, а не $100000 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Квадрат ширины у правильной призмы

Ошибка: Если "правильная четырёхугольная призма стала в два раза шире", умножить ширину на $2$ только один раз.

Правильно: «Правильная четырёхугольная призма» означает, что в основании квадрат. Если призма стала "в два раза шире", обе стороны дна умножаются на $2$ - площадь основания растёт в $2^{2} = 4$ раза, а не в $2 .$ Аналогично, "в $k$ раз шире" для квадрата даёт $k^{2}$ для площади дна.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Составной многогранник: считают лишние грани

Ошибка: В задаче про ящик-куб без одной грани (ребро $a$ ) посчитать $6 a^{2}$ - как у целого куба. Или, наоборот, забыть, что внутри теперь пять "новых" граней (четыре стенки и дно изнутри), если требуется красить со всех сторон.

Правильно: Внимательно прочитай, что именно красят. Если "куб без одной грани, красят снаружи со всех сторон" - это $5$ внешних граней по $a^{2},$ ответ $5 a^{2} .$ Если просят "изнутри и снаружи" - к пяти внешним прибавляется ещё $5$ внутренних граней (четыре стенки и дно изнутри), итого $10 a^{2};$ отсутствует только вырезанная грань.

Куб с ребром a в лёгкой аксонометрии, у которого отсутствует

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: Закладывай на эту задачу около 10-11 минут.
Приоритет: Задача не самая сложная, но требует аккуратности. Решай её в первой половине экзамена, когда голова свежая и вероятность ошибиться в нулях минимальна.
Быстрая проверка: Сравни ответ с реальностью. Бассейн не может вмещать 2 литра, а покраска маленькой детали не займёт миллион квадратных сантиметров.
Оставлять или решать: Решать обязательно! В большинстве случаев это простая задача на одну формулу или перемножение трёх чисел (если не забыть перевести единицы).

Проверь себя0 из 4

1.По какой формуле вычисляется объём цилиндра?

2.Сторона основания копии пирамиды в

200

раз меньше стороны оригинала. Во сколько раз меньше высота копии?

3.Объём бака равен

50000

кубических сантиметров. Сколько это литров?

4.Куб с ребром

a

лишили одной грани и красят снаружи со всех сторон. Какова площадь покраски?