Прямоугольник — ЕГЭ база

Прямоугольник в практических задачах (Задание 10)

Задание 10 базового ЕГЭ по математике проверяет твоё умение применять геометрию в реальной жизни. Прямоугольник - самая частая фигура в нашем быту: форма комнаты, футбольного поля, листа бумаги, экрана телевизора, паркетной доски. В этом конспекте разберём, как быстро и без ошибок считать периметры, площади и диагонали.

Суть темы

В задачах на прямоугольник от тебя требуется найти одну из трёх главных характеристик: периметр (длина границы), площадь (размер внутренней поверхности) или диагональ (отрезок из одного угла в противоположный).

Маркеры в тексте:

Забор, плинтус, бордюр, рамка, бортик грядки - ищем периметр.
Паркет, плитка, краска, газон, ковёр, обои - ищем площадь.
Экран телевизора "по диагонали", путь наискосок через комнату - ищем диагональ.

Основные формулы и факты

Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (длиной и шириной) действуют три базовые формулы.

ВАЖНОЕ

Периметр прямоугольника

P = 2 \cdot (a + b)

Периметр - это сумма длин всех четырёх сторон. Формула означает, что мы складываем длину и ширину, а затем умножаем результат на $2 .$

ВАЖНОЕ

Площадь прямоугольника

S = a \cdot b

Площадь - это произведение смежных сторон (длины на ширину).

Диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Диагональ $d$ в таком треугольнике становится гипотенузой, а стороны $a$ и $b$ - катетами. По теореме Пифагора:

ВАЖНОЕ

Диагональ прямоугольника

d = a^{2} + b^{2}

Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b .$

Самая главная сложность в этих задачах - разные единицы измерения. Комнаты измеряют в метрах, а паркет - в сантиметрах.

iЗАМЕЧАНИЕ

Перевод единиц площади

В одном метре $100$ сантиметров.
Площадь квадрата со стороной $1$ метр равна:
$1 м^{2} = 100 см \cdot 100 см = 10000 см^{2} .$
При расчёте количества плиток всегда переводи метры комнаты в сантиметры ДО вычисления площади!

Для задач на укладку плитки или паркета работает универсальное правило:

ВАЖНОЕ

Количество элементов покрытия

N = \frac{S _{всего}}{S _{одного элемента}}

Чтобы узнать, сколько дощечек поместится на полу, нужно общую площадь пола разделить на площадь одной дощечки.

✓СОВЕТ

Пифагоровы тройки

Если стороны прямоугольника образуют одну из "красивых" троек - диагональ получится целым числом:

$3,$ $4$ -> $d = 5$
$6,$ $8$ -> $d = 10$
$5,$ $12$ -> $d = 13$
$9,$ $12$ -> $d = 15$
Если видишь такие числа в условии - корень извлечётся точно.

Алгоритм решения

Чтобы не запутаться в нулях и метрах, действуй по шагам.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения бытовых задач на прямоугольник

1. Определи цель. Прочитай вопрос: нужен забор (периметр), паркет (площадь) или путь наискосок (диагональ)? Есть ли внутри участка дополнительные перегородки?
2. Сделай чертёж. Нарисуй прямоугольник, подпиши стороны. Если есть внутренний забор - нарисуй его. Если ищут диагональ - проведи её и выдели прямоугольный треугольник.
3. Приведи единицы к одной мере. Если пол в метрах, а дощечки в сантиметрах - сразу переведи длину и ширину пола в сантиметры.
4. Примени формулу. $P = 2 (a + b),$ $S = a \cdot b$ или $d = a^{2} + b^{2} .$
5. Найди итоговый ответ. Раздели большую площадь на маленькую (для паркета) или сложи все отрезки (для забора).

Примеры решения

Разберём три типовых сюжета: от простого периметра к диагонали и задаче с покрытием.

ПРИМЕР 1

Бортик для грядки

Условие:
Прямоугольная грядка имеет длину $7$ м и ширину $3$ м. Чтобы края грядки не осыпались, её огораживают деревянным бортиком по всему периметру, а посередине разделяют таким же бортиком на две равные прямоугольные части (перегородка параллельна короткой стороне). Найди общую длину бортика в метрах.

Решение:

1. Внешний периметр грядки:

P = 2 \cdot (7 + 3) = 2 \cdot 10 = 20 м

2. Перегородка параллельна короткой стороне, значит её длина равна $3$ м.
3. Общая длина бортика:

L = 20 + 3 = 23 м

Ответ: $23$

Когда в задаче упоминается "экран по диагонали" или "путь наискосок", работает теорема Пифагора.

ПРИМЕР 2

Диагональ экрана телевизора

Условие:
Экран телевизора имеет форму прямоугольника шириной $60$ см и высотой $45$ см. Найди длину диагонали экрана в сантиметрах.

В задачах про покрытие пола или стен главное — привести все размеры к одной единице и аккуратно считать большие числа.

ПРИМЕР 3

Плитка для кухни

Условие:
Пол кухни имеет форму прямоугольника со сторонами $3$ м и $6$ м. Пол планируют выложить квадратной плиткой со стороной $30$ см. Сколько потребуется плиток?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница периметра с площадью

Ошибка: На вопрос "сколько метров забора нужно?" считают $a \cdot b$ и получают квадратные метры вместо длины.

Правильно: Забор — это периметр (длина, измеряется в метрах): $P = 2 (a + b) .$ Покрытие (краска, плитка, газон) — это площадь (измеряется в квадратных метрах): $S = a \cdot b .$ Сверяйся с единицами в вопросе: "метров" -> периметр, "квадратных метров" -> площадь.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Разные единицы измерения

Ошибка: Умножают метры комнаты ( $4$ и $6$ ) и получают площадь пола $24 .$ А площадь плитки считают в сантиметрах ( $10 \cdot 20 = 200$ ). Затем делят $24$ на $200$ и получают бред.

Правильно: До начала любых умножений переведи всё в одну меру. Пол $4$ м и $6$ м — это $400$ см и $600$ см. Площадь пола: $400 \cdot 600 = 240000$ см².

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытая перегородка в задаче про забор

Ошибка: В задаче с разделением участка на две части вычисляют только периметр (внешний забор) и пишут его в ответ.

Правильно: Всегда рисуй картинку. Если сказано "разделить таким же забором", значит внутри периметра есть ещё один отрезок. Его длину нужно прибавить к периметру.

Что запомнить

Забор = Периметр: $P = 2 (a + b) .$ Сумма всех линий на чертеже.
Паркет = Площадь: $S = a \cdot b .$ Произведение сторон.
Диагональ = Пифагор: $d = a^{2} + b^{2} .$ Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b .$
Количество плиток — это площадь пола разделить на площадь одной плитки.
Метры всегда переводи в сантиметры перед умножением: $1 м = 100 см,$ $1 м^{2} = 10000 см^{2} .$
Чтобы отрезать от прямоугольника квадрат, перегородка должна быть равна короткой стороне прямоугольника.
Если стороны кратны пифагоровым тройкам ( $3$ - $4$ - $5,$ $5$ - $12$ - $13$ ) — диагональ получится целой.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 8-10 минут.
Приоритет: Решай эти задачи сразу в первом проходе. Они требуют только базовой арифметики и внимательного чтения.
Визуализация: Обязательно рисуй комнату или участок прямо в черновике. Подпиши каждую сторону. Для задач с диагональю — выдели прямоугольный треугольник.
Проверка здравым смыслом: Если для покрытия комнаты $4 \times 5$ метров у тебя получилось $2, 5$ дощечки — ты забыл перевести метры в сантиметры. Дощечек всегда получаются сотни или тысячи.
Единицы в ответе: Перечитай вопрос. "Сколько метров забора" -> периметр. "Сколько квадратных метров газона" -> площадь. "Сколько плиток" -> безразмерное число.

Проверь себя0 из 4

1.Участок огорожен забором. Что вычисляем, чтобы найти длину забора?

2.Экран прямоугольный, ширина

60

см, высота

45

см. Чему равна диагональ?

3.Сколько квадратных сантиметров в

1 м^{2} ?

4.Пол

3

м на

6

м выкладывают квадратной плиткой со стороной

30

см. Сколько нужно плиток?