Проценты, округление

Проценты (Задание 15)

Задание 15 в базовом ЕГЭ чаще всего посвящено процентам. Это одни из самых житейских задач на экзамене: здесь считают скидки в магазинах, налог с зарплаты, ставки по кредиту и банковскому вкладу, изменение цен и численности населения.

Суть темы

Слово "процент" буквально переводится как "за сотню" (pro centum).

Ключевое правило процентов: всю величину, с которой сравнивают, принимают за $100\%\text{.}$ Если речь идёт об изменении цены, за $100\%$ принимается старая (исходная) цена. Если речь о налоге - за $100\%$ берут зарплату до вычета.

Основные формулы

Три формулы закрывают почти все задачи задания 15.

Для быстрого счёта удобно переводить проценты в десятичные дроби: $1\%=0,01\text{,}$ $5\%=0,05\text{,}$ $13\%=0,13\text{,}$ $100\%=1\text{.}$ Чтобы перевести процент в дробь, раздели его на $100\text{.}$

Вместо двух действий (найти процент, потом прибавить или вычесть) можно в один шаг воспользоваться десятичным множителем.

Алгоритм решения

Если десятичные множители кажутся сложными, есть универсальный метод, который работает всегда и спасает от ошибок, - метод пропорции.

Примеры решения

Разберём задачи от самых простых до тех, где нужно сделать несколько шагов.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

+20%, затем -20% - не возвращают к исходному

Ошибка: Цену товара увеличили на $20\%\text{,}$ потом уменьшили на $20\%\text{,}$ и считают, что получили исходную цену.

Правильно: Проверь на числах. Исходная цена $1000$ рублей. После увеличения на $20\%\text{:}$ $1000\cdot 1,2=1200\text{.}$ После уменьшения на $20\%$ от новой цены: $1200\cdot 0,8=960$ рублей. Получили $960\text{,}$ а не $1000$ - цена упала на $4\%\text{.}$ Причина: $20\%$ во втором действии считаются уже от $1200\text{,}$ а не от $1000\text{.}$ Процентные изменения не складываются - их множители перемножаются: $1,2\cdot 0,8=0,96\text{.}$

Что запомнить

• $1\%$ - это одна сотая: $1\%=\frac{1}{100}=0,01\text{.}$

• За $100\%$ принимается то число, с которым сравнивают (исходная цена, зарплата до налога, общее количество людей, сумма кредита).

• Скидка $20\%\text{:}$ платишь $80\%$ от цены, множитель $0,8\text{.}$ Налог $13\%\text{:}$ на руки $87\%$ зарплаты, множитель $0,87\text{.}$

• Подорожание на $p\%\text{:}$ множитель $1+\frac{p}{100}\text{.}$ Удешевление на $p\%\text{:}$ множитель $1-\frac{p}{100}\text{.}$

• Два последовательных изменения процентов не складываются: $+20\%$ и затем $-20\%$ дают $1,2\cdot 0,8=0,96\text{,}$ то есть $-4\%$ от исходной.

• Пропорция решает любые задачи на проценты: пиши рубли под рублями, проценты под процентами, перемножай крест-накрест.