Задание 15: Простейшие текстовые задачи — ЕГЭ база

Задачи на проценты и округление (Задание 15)

Задание 15 ЕГЭ-база - это практическая текстовая задача на проценты. Одна из самых жизненных: здесь скидки в магазинах, начисление процентов по банковским вкладам, рост и падение цен, распределение бюджета. Ответ всегда целое число или простая десятичная дробь.

Какие темы встречаются

Все задачи этого номера - про проценты и округление. Различаются только сюжеты:

Скидки и наценки. Товар подешевел или подорожал на $P %$ - найди новую цену или сумму покупки.
Банковские вклады. Деньги положили под $P %$ годовых - сколько станет на счёте через год.
Рост и падение величин. Население города выросло на $P %,$ урожай сократился на $P %$ - найди новое значение.
Доля от целого. В бюджете доля расходов на еду составляет $P %$ - переведи в рубли.
Сколько процентов составляет. Одна величина от другой - найди отношение в процентах.

Общий алгоритм решения

Для решения задач на проценты лучше всего использовать метод пропорции или метод десятичного множителя. Выбирай тот, который тебе понятнее.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через пропорцию

1. Определи $100% .$ За $100%$ всегда принимается та величина, с которой сравнивают (исходная цена, изначальная сумма вклада, общее количество людей).
2. Составь таблицу-пропорцию. В один столбец запиши рубли/штуки/килограммы, в другой - проценты.
3. Вырази неизвестное. Запиши неизвестную величину как $x .$
4. Реши пропорцию. Перемножь элементы крест-накрест.
5. Ответь на вопрос задачи. Убедись, что найденный $x$ - это именно то, что спрашивают (иногда $x$ - это скидка, а просят найти итоговую цену).

ВАЖНОЕ

Процент от числа

Чтобы найти $P$ процентов от числа $A,$ переведи проценты в десятичную дробь и умножь:

Часть = A \cdot \frac{P}{100}

Например, $25%$ от $800$ руб: $800 \cdot 0, 25 = 200$ руб.

ВАЖНОЕ

Изменение на процент

Если величина $A$ увеличилась на $P %,$ новое значение:

A_{нов} = A \cdot (1 + \frac{P}{100})

Если уменьшилась на $P % :$

A_{нов} = A \cdot (1 - \frac{P}{100})

Пример. Цена $1200$ руб, скидка $15% :$ новая цена $= 1200 \cdot 0, 85 = 1020$ руб.

Примеры решения

Разберём три типичных сюжета: скидка, доля в бюджете и банковский вклад.

ПРИМЕР 1

Покупка со скидкой

Условие:
Пачка кофе стоит $800$ рублей. В выходные дни в супермаркете действует скидка $15% .$ Сколько рублей придется заплатить за три такие пачки кофе в воскресенье?

Решение:
Решим задачу по действиям. Сначала найдем цену одной пачки со скидкой.

1. Исходная цена - это $100% .$ Скидка составляет $15%,$ значит, новая цена составит:
$100% - 15% = 85%$ от старой цены.
2. Найдем $85%$ от $800$ рублей через десятичный множитель:
$800 \cdot 0, 85 = 680$ (рублей) - цена одной пачки в воскресенье.
3. Нам нужно купить три пачки:
$680 \cdot 3 = 2040$ (рублей).

Альтернативный путь (через пропорцию):
$800$ руб - $100%$
$x$ руб - $15%$ (найдем саму скидку)
$x = \frac{800 \cdot 15}{100} = 120$ руб.
Новая цена: $800 - 120 = 680$ руб. За три пачки: $680 \cdot 3 = 2040$ руб.

Ответ: $2040$

ПРИМЕР 2

Доля в бюджете

Условие:
Семья тратит на продукты $35%$ месячного бюджета, на жильё - $25%,$ на транспорт - $15%,$ остальное уходит на прочие расходы. Сколько рублей семья тратит на прочие расходы, если месячный бюджет составляет $80000$ рублей?

ПРИМЕР 3

Банковский вклад

Условие:
Банк начисляет на срочный вклад $8%$ годовых. Вкладчик положил на счет $45000$ рублей. Сколько рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Нашли скидку вместо итоговой цены

Ошибка: В задаче просят найти стоимость куртки со скидкой $20% .$ Ученик находит $20%$ от цены и записывает это в ответ.
Правильно: Всегда перечитывай вопрос задачи перед тем, как записать ответ. $20%$ - это сумма, которую мы экономим. Ее нужно вычесть из начальной цены.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильная база для процентов

Ошибка: Если товар стоил $100$ рублей, подорожал на $10%,$ а потом подешевел на $10%,$ считают, что он снова стоит $100$ рублей.
Правильно: Процент всегда берется от текущего значения. Подорожал: $100 \cdot 1, 1 = 110 .$ Подешевел: берем $10%$ уже от $110$ рублей. $110 \cdot 0, 9 = 99$ рублей.

Схема из трёх горизонтальных полос-столбиков одна под другой

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 8 минут.
Приоритет: Это классическая и понятная задача, решай её в первом проходе.
Самопроверка на здравый смысл: Жизненный контекст - твой главный помощник. Если после скидки товар стал стоить дороже, чем до неё, или если доля расходов превысила весь бюджет - в расчётах точно есть ошибка.
Работа с нулями: В финансовых задачах много нулей. Выполняй вычисления столбиком на черновике и аккуратно зачёркивай нули при делении $(\frac{48 000}{100} = 480),$ чтобы не "потерять" разряд.
Ответ как целое число: Формат ответа в базе - целое число или конечная десятичная дробь. Если получается дробь типа $1, 05$ - возможно, забыл умножить на количество или округлить по условию.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен

1%

числа

A ?

2.Товар стоил

1200

руб, скидка

15% .

Новая цена?

3.Вклад

45000

руб под

8%

годовых. Сколько на счёте через год?

4.Цена

100

руб выросла на

10%,

затем упала на

10% .

Итоговая цена?