Произвольный четырехугольник — ЕГЭ база

Произвольный четырёхугольник на клетчатой бумаге (Задание 9)

В задании 9 часто встречаются "неправильные" четырёхугольники — у них нет параллельных сторон, нет прямых углов, стороны идут по клеткам вкривь и вкось. Такая фигура может изображать, например, земельный участок на плане или контур флага на клетчатом листе. Считать клетки поштучно долго и легко ошибиться. Поэтому в базе есть три универсальных приёма, которые работают всегда: метод достраивающего прямоугольника, формула Пика и формула через диагонали.

Суть темы

Произвольный четырёхугольник — это фигура с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами, у которой не обязательно есть параллельные стороны, равные стороны или прямые углы. Поэтому школьные формулы параллелограмма и трапеции тут напрямую не работают.

Когда четырёхугольник нарисован на клетчатой бумаге размером $1 \times 1,$ задача упрощается: все вершины попадают в узлы сетки, и можно воспользоваться тем, что вершины находятся в целых координатах. В этом случае работают два очень сильных приёма:

1. Метод прямоугольника — описать фигуру в "рамку" и отсечь лишние уголки.
2. Формула Пика — посчитать точки сетки внутри фигуры и на её границе.

Если же четырёхугольник задан без клеток, но известны диагонали и угол между ними, выручает формула через диагонали.

Основные формулы

ВАЖНОЕ

Формула Пика

S = В + \frac{Г}{2} - 1

где $В$ — число узлов сетки строго внутри фигуры, $Г$ — число узлов на её границе (включая вершины). Работает для любого многоугольника с вершинами в узлах сетки.

Формула Пика на примере четырёхугольника

ВАЖНОЕ

Площадь через диагонали

S = \frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2} \cdot sin α

где $d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей четырёхугольника, $α$ — угол между ними. Формула работает для любого выпуклого четырёхугольника, а не только для ромба.

Из школьной программы пригодятся ещё две формулы: площадь трапеции и правило двух высот параллелограмма. Произвольный четырёхугольник иногда оказывается трапецией или параллелограммом, если присмотреться.

ВАЖНОЕ

Площадь трапеции

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

где $a$ и $b$ — параллельные основания, $h$ — расстояние между ними.

ВАЖНОЕ

Правило двух высот параллелограмма

a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}

Площадь параллелограмма одна и та же, как её ни считай. Значит, произведение стороны на её высоту постоянно.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как найти площадь произвольного четырёхугольника

1. Оцени картинку. Фигура на клетчатой бумаге или без неё? Есть ли параллельные стороны (трапеция) или две пары параллельных (параллелограмм)?
2. Если на клетках и фигура "кривая": опиши вокруг неё самый тесный прямоугольник со сторонами по линиям сетки.
3. Вычисли площадь этого прямоугольника.
4. Из площади прямоугольника вычти площади угловых прямоугольных треугольников (их катеты легко считаются по клеткам, площадь каждого — $\frac{a \cdot b}{2}$ ).
5. Альтернатива на клетках: посчитай по формуле Пика. Отметь карандашом все узлы на границе и внутри фигуры.
6. Если клеток нет, но известны диагонали и угол: применяй $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α .$
7. Проверь ответ на правдоподобие. Прикинь на глаз, сколько клеток помещается внутри фигуры. Значение должно быть близко.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Метод прямоугольника

Условие:
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён четырёхугольник. Вершины лежат в узлах сетки. Найди его площадь.

Решение:

Фигура кривая, формулы параллелограмма или трапеции не применить напрямую. Будем отсекать лишнее.

1. Площадь большого прямоугольника: $S_{прям} = 5 \cdot 4 = 20 .$
2. В углах — четыре прямоугольных треугольника. Их площади:

левый верхний: $\frac{2 \cdot 2}{2} = 2,$
правый верхний: $\frac{3 \cdot 1}{2} = 1, 5,$
левый нижний: $\frac{1 \cdot 2}{2} = 1,$
правый нижний: $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6 .$
3. Сумма "лишних" кусочков: $2 + 1, 5 + 1 + 6 = 10, 5 .$
4. Площадь нашего четырёхугольника:

S = 20 - 10, 5 = 9, 5

Ответ: $9, 5$

Теперь решим ту же задачу вторым способом — по формуле Пика. Это полезный способ самопроверки.

ПРИМЕР 2

Формула Пика

Условие:
Тот же четырёхугольник, что и в Примере 1. Все вершины в узлах сетки. Узлов строго внутри фигуры $8,$ узлов на её границе (включая вершины) $5 .$ Найди площадь.

Третий пример — "полевой" сюжет без клеток, где спасает формула диагоналей.

ПРИМЕР 3

Диагонали и угол между ними

Условие:
На участке с формой выпуклого четырёхугольника провели две диагональные дорожки. Их длины равны $10$ м и $8$ м, а угол между ними равен $3 0^{\circ} .$ Найди площадь участка в квадратных метрах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Считают узлы границы неправильно

Ошибка: В формуле Пика под $Г$ понимают только вершины фигуры. На самом деле $Г$ — это все узлы сетки, через которые проходит граница: и вершины, и узлы, лежащие на сторонах между вершинами.

Правильно: если сторона идёт через клетку горизонтально длиной $4$ клетки, на ней лежит $5$ узлов (включая оба конца). При подсчёте $Г$ считай каждый узел только один раз.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путают "угол между диагоналями"

Ошибка: Умножают диагонали друг на друга без синуса ( $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ ) для произвольного четырёхугольника. Так делать нельзя — это формула только для ромба и квадрата, где диагонали перпендикулярны.

Правильно: в общем случае нужен множитель $sin α,$ где $α$ — угол между диагоналями. Если $α \neq = 9 0^{\circ},$ то $sin α < 1$ и площадь будет меньше, чем $\frac{1}{2} d_{1} d_{2} .$

Что запомнить

На клетках у произвольного четырёхугольника два надёжных способа: метод прямоугольника (описать и отрезать уголки) и формула Пика $S = В + \frac{Г}{2} - 1 .$
Если известны диагонали и угол между ними — работает $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α$ для любого выпуклого четырёхугольника.
Для ромба и квадрата диагонали перпендикулярны, $sin 9 0^{\circ} = 1,$ и формула сводится к $\frac{1}{2} d_{1} d_{2} .$
Если в ответе получилась конечная десятичная дробь (например, $9, 5$ ) — это нормально, главное чтобы её можно было вписать в бланк.

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 5-7 минут.
Приоритет: решай в первую очередь — это одно из самых понятных геометрических заданий варианта.
Самопроверка (лайфхак): после расчёта формулой или методом прямоугольника посчитай на глаз целые клетки внутри фигуры, а половинки попарно соедини. Если по формуле вышло $20,$ а визуально помещается $5$ клеток — точно где-то ошибка. На клетчатой бумаге можно дополнительно проверить ответ формулой Пика (как в Примере 2).

Проверь себя0 из 4

1.Что обозначает

Г

в формуле Пика

S = В + \frac{Г}{2} - 1 ?

2.Узлов внутри многоугольника

В = 6,

на границе

Г = 8 .

Чему равна площадь по формуле Пика?

3.Диагонали выпуклого четырёхугольника равны

6

4,

угол между ними

3 0^{\circ} .

Площадь равна:

4.Когда площадь четырёхугольника можно считать как

\frac{1}{2} d_{1} d_{2}

без синуса?