Задание 9: Задачи на квадратной решетке — ЕГЭ база

Планиметрия на клетчатой бумаге и планы местности (Задание 9)

Девятое задание базового ЕГЭ проверяет умение работать с геометрическими фигурами на плоскости. Чаще всего это задачи с визуальной опорой: фигура нарисована на клетчатой решётке или дана карта местности. Но иногда встречаются и классические текстовые задачи на площади.

Ответ в этом задании всегда получается точным: целое число или конечная десятичная дробь.

Какие темы встречаются

В этом номере можно выделить три основных сюжета:

1. Фигуры на клетчатой бумаге (основная часть задач). Многоугольник с вершинами в узлах сетки размером $1 \times 1 .$ Встречаются: треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, произвольный четырёхугольник. Нужно найти площадь или длину какого-то элемента (диагональ, средняя линия, высота).
2. Оценка площади на плане местности. Дана схематичная карта (озеро, поле, участок) на сетке. Известен масштаб. Нужно прикинуть примерную площадь объекта.
3. Классическая планиметрия. Короткая текстовая задача на базовые формулы площадей без картинки (связь сторон и высот параллелограмма, площадь через диагонали и т.п.).

Ключевые формулы и методы

Для решения задач на клетчатой решётке можно использовать стандартные формулы геометрии, просто считая клетки. Но есть два универсальных приёма, которые спасают, когда фигура "кривая" и её высоту провести сложно: достраивание до прямоугольника и формула Пика.

ВАЖНОЕ

Метод прямоугольника (bounding-box минус углы)

Если фигура вписана в прямоугольник $m \times n$ клеток и в углах прямоугольника остаются прямоугольные треугольники с катетами $a_{i}$ и $b_{i},$ то:

S_{фигуры} = m \cdot n - \sum \frac{a _{i} \cdot b _{i}}{2}

Площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ равна $\frac{a \cdot b}{2} .$

АЛГОРИТМ

Алгоритм: метод прямоугольника (достраивание)

1. Очерти вокруг фигуры прямоугольник так, чтобы вершины фигуры лежали на его сторонах.
2. Посчитай площадь этого большого прямоугольника (длина умножить на ширину в клетках).
3. Посчитай площади прямоугольных треугольников, которые образовались по углам (между фигурой и рамкой). Площадь прямоугольного треугольника — это половина произведения его катетов.
4. Вычти из площади прямоугольника площади всех "лишних" треугольников. Оставшееся число — площадь искомой фигуры.

Второй приём — универсальный, работает для любого многоугольника с вершинами в узлах сетки.

ВАЖНОЕ

Формула Пика

S = В + \frac{Г}{2} - 1

Где $В$ — количество узлов сетки строго внутри фигуры, $Г$ — количество узлов сетки на границе (включая вершины). Формула работает для любого многоугольника, у которого вершины лежат в узлах сетки.

Если попадается текстовая задача на связь сторон и высот параллелограмма или треугольника, нужно помнить следующий факт: площадь фигуры можно выразить по-разному, но сама площадь от этого не меняется.

ВАЖНОЕ

Связь сторон и высот параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на проведённую к ней высоту:

S = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}

Следовательно: $a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b} .$
Где $a$ и $b$ — соседние стороны, а $h_{a}$ и $h_{b}$ — высоты, проведённые к ним.

✓СОВЕТ

Когда какой метод применять

Многоугольник с вершинами точно в узлах, сторон $3$ - $5$ — формула Пика (быстро, без ошибок).
Треугольник или четырёхугольник, стороны которого "косые" и не идут по сетке — метод прямоугольника.
Параллелограмм/трапеция с одной стороной по сетке — просто основание на высоту, считая клетки.
Ромб на сетке с заданными диагоналями — $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} .$

Примеры решения

Расположим задачи от простой геометрии к оценке по карте.

ПРИМЕР 1

Высоты параллелограмма

Условие:
Стороны параллелограмма равны $15$ и $25 .$ Высота, опущенная на меньшую сторону, равна $20 .$ Найди высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

ПРИМЕР 2

Площадь фигуры на клетке

Условие:
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найди его площадь.

ПРИМЕР 3

Оценка площади по плану местности

Условие:
На рисунке изображён план местности. Шаг сетки плана соответствует расстоянию $100$ м на местности. Оцени, скольким квадратным метрам равна площадь озера Лебяжье, изображённого на плане. Ответ округли до целого десятка тысяч.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница с единицами площади

Ошибка: В задаче с планом местности сторону клетки $100$ м просто умножают на количество клеток. То есть для 7 клеток получают $7 \cdot 100 = 700 .$

Правильно: Клетки — это площадь. Сначала нужно найти площадь одной клетки (возвести сторону в квадрат: $10 0^{2} = 10000$ ), и только потом умножать на количество клеток.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Использование сложной формулы Герона для клетки

Ошибка: Пытаться высчитать длину каждой стороны треугольника на сетке через теорему Пифагора, чтобы потом найти площадь. Это долго и приводит к корням, из которых легко не выбраться.

Правильно: Используй метод достраивания до прямоугольника. Он работает всегда и использует только самые простые умножения.

Что запомнить

Для многоугольника с вершинами в узлах сетки работает формула Пика $S = В + \frac{Г}{2} - 1 .$
Метод прямоугольника (bounding-box минус углы) спасает в любой непонятной ситуации на клетчатой бумаге и даёт тот же ответ, что формула Пика.
У параллелограмма произведение стороны на её высоту — величина постоянная. Меньшая высота всегда падает на бОльшую сторону, а большая высота — на меньшую.
В задачах на карту считай целые клетки как $1,$ а кусочки клеток примерно как $0, 5 .$
Обязательно возводи масштаб в квадрат, когда ищешь площадь одной клетки.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 5-7 минут.
Приоритет: Решай в первой половине экзамена, задача лёгкая и приносит верный балл.
Быстрая проверка (для клетки): если площадь хитрой фигуры получилась математически (например, $5, 5$ ), просто посмотри на картинку и прикинь на глаз: похоже ли это пятно на $5$ с половиной клеточек? Если глазомер говорит "тут минимум 10", пересчитывай. А для многоугольника с вершинами в узлах второй способ — проверить ответ формулой Пика.
Для плана местности: Не бойся, что ты посчитаешь неполные клетки "как-то не так". Обычно составители ЕГЭ делают ответ достаточно надёжным, а диапазон допустимых ответов закладывают в сам ключ. Главное — не ошибись с нулями при умножении на площадь одной клетки.

Проверь себя0 из 4

1.По формуле Пика площадь многоугольника с вершинами в узлах сетки равна:

2.Треугольник вписан в прямоугольник

4 \times 3

клетки, а три угловых прямоугольных треугольника имеют площади

1, 5,

2

3 .

Чему равна площадь треугольника?

3.Стороны параллелограмма равны

15

25,

высота к меньшей стороне равна

20 .

Чему равна высота к большей стороне?

4.Шаг сетки плана соответствует

100

м. Озеро занимает примерно

7

клеток. Какова его площадь?