Призма — ЕГЭ база

Призма: форма и объём (Задание 11)

Задание 11 в базовом ЕГЭ проверяет умение работать с простыми пространственными фигурами. Один из самых частых героев этого номера - призма: от обычной картонной коробки до правильной шестиугольной призмы, как в карандаше-"шестиграннике".

Суть темы

Призма - это многогранник, у которого два одинаковых основания (сверху и снизу лежат два равных многоугольника, соединённых боковыми гранями). В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основанию - такая призма "стоит ровно".

В задачах ЕГЭ-база чаще всего встречаются три типа прямой призмы:

1. Треугольная - в основании треугольник. Так устроен, например, амбар с двускатной крышей, если смотреть на него с торца.
2. Четырёхугольная правильная - в основании квадрат. Это обычная коробка или аквариум с квадратным дном.
3. Шестиугольная правильная - в основании правильный шестиугольник. Классический пример: карандаш-шестигранник или туннель с шестиугольным сечением.

Основные формулы

Главная формула одна - её нужно знать наизусть. Всё остальное сводится к вычислению площади основания.

ВАЖНОЕ

Объём прямой призмы

V = S_{осн} \cdot H

где $S_{осн}$ - площадь основания, $H$ - высота призмы (длина бокового ребра).

Площадь основания зависит от его формы. Для ЕГЭ-базы полезно помнить три случая.

ВАЖНОЕ

Площади типичных оснований

S_{квадрат} = a^{2}

S_{прям . тр - к} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

S_{прав . шестиугольник} = \frac{3 3}{2} \cdot a^{2}

Последнюю формулу легко понять, если разрезать правильный шестиугольник на $6$ равносторонних треугольников с общей вершиной в центре. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника $a,$ а значит:

Правильный шестиугольник со стороной a, разрезанный отрезкам

S_{шест .} = 6 \cdot S_{равн . тр - ка} = 6 \cdot \frac{3}{4} a^{2} = \frac{3 3}{2} a^{2}

На базе в чистом виде численный коэффициент $\frac{3 3}{2}$ подставлять почти никогда не требуется: задачи обычно строятся так, чтобы корни сократились сами собой или чтобы достаточно было знать "во сколько раз увеличилась сторона".

✓СОВЕТ

Главная идея

В любой задаче на сравнение призм с подобными основаниями помни правило степеней:

если линейный размер основания растёт в $k$ раз, площадь основания растёт в $k^{2}$ раз;
если ещё и высота растёт в $m$ раз, объём растёт в $k^{2} \cdot m$ раз.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на объём призмы

1. Определи тип призмы и нарисуй эскиз. Подпиши сторону основания $a$ и высоту $H .$
2. Найди площадь основания $S_{осн}$ по подходящей формуле из списка выше.
3. Подставь в формулу $V = S_{осн} \cdot H .$
4. Если задача на сравнение или переливание - выпиши отдельно $V_{1}$ и $V_{2},$ раздели или приравняй их. Ненужные множители (например, $\frac{3 3}{2}$ ) при делении сократятся.
5. Проверь здравым смыслом. Объём школьного класса - около $200$ м³, объём кружки - около $300$ см³. Если у тебя вышло что-то совсем дикое, ищи ошибку.

Примеры решения

Разберём три типовые задачи: треугольная призма с житейским контекстом, переход между двумя разными призмами и сравнение размеров.

ПРИМЕР 1

Амбар с двускатной крышей

Условие:
Чердак амбара имеет форму прямой треугольной призмы: в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами $3$ м и $4$ м (это торец крыши), а длина амбара равна $10$ м. Найди объём чердака в кубических метрах.

Решение:

Амбар ориентирован "набок": основания призмы - это два торца крыши, а высота призмы - длина амбара $H = 10$ м.

1. Площадь основания (прямоугольного треугольника):

S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 м^{2}

2. Объём призмы:

V = S_{осн} \cdot H = 6 \cdot 10 = 60

Ответ: $60$

ПРИМЕР 2

Два карандаша-шестигранника

Условие:
Карандаш имеет форму правильной шестиугольной призмы. Второй карандаш - тоже правильная шестиугольная призма, но сторона его основания в $3$ раза больше, а длина в $2$ раза меньше. Во сколько раз объём второго карандаша больше объёма первого?

ПРИМЕР 3

Сечение туннеля

Условие:
Туннель имеет форму прямой призмы: сечение (торец) - правильный шестиугольник со стороной $2$ м. Длина первого участка туннеля $50$ м. Рядом строят второй туннель такой же длины, но сторону шестиугольника в сечении увеличили в $3$ раза. Во сколько раз объём второго туннеля больше объёма первого?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли, что при изменении стороны площадь растёт в квадрате

Ошибка: Сторону основания увеличили в $3$ раза, а объём считают увеличившимся тоже в $3$ раза.

Правильно: Сторона входит в площадь основания в квадрате (и для квадрата $a^{2},$ и для шестиугольника $\frac{3 3}{2} a^{2},$ и для подобного треугольника). Значит, при увеличении стороны в $k$ раз площадь растёт в $k^{2}$ раз, а за ней и объём - при той же высоте.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница "выше/ниже" и "шире/уже"

Ошибка: В условии сказано "первая коробка в $4$ раза ниже второй", а высоту первой умножают на $4 .$

Правильно: Если ПЕРВАЯ ниже, значит ВТОРАЯ выше. Переводи фразу в математику буквально: "высота второй в $4$ раза больше высоты первой" $\Rightarrow$ $H_{2} = 4 H_{1} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали сторону и высоту призмы

Ошибка: У призмы "на боку" (как в примере про амбар) за высоту принимают высоту треугольника в торце, а не длину амбара.

Правильно: Высота призмы - это расстояние между основаниями, то есть длина бокового ребра. Основания - это те два одинаковых многоугольника, которые связаны боковыми гранями. У амбара основания - торцы (треугольники), высота призмы - длина амбара.

Что запомнить

1. Главная формула: $V = S_{осн} \cdot H$ для любой прямой призмы.
2. Площади оснований: квадрат $a^{2},$ прямоугольный треугольник $\frac{1}{2} ab,$ правильный шестиугольник $\frac{3 3}{2} a^{2}$ (шестиугольник = $6$ равносторонних треугольников).
3. Правило степеней: при увеличении линейного размера основания в $k$ раз площадь растёт в $k^{2}$ раз, объём - в $k^{2} \cdot m$ раз (где $m$ - коэффициент изменения высоты).
4. При переливании жидкости её объём не меняется - меняется только уровень.
5. Метод придуманных чисел ( $a = 1,$ $H = 1$ ) экономит время в задачах на сравнение "во сколько раз".

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-7 минут.
Приоритет: Задача решается быстро, если не запутаться в тексте. Бери её в первой половине экзамена.
Чертёж обязателен. Даже кривой эскиз на полях помогает не перепутать, где основание, а где высота. Для призмы "на боку" (амбар, туннель, карандаш) это особенно важно.
Проверка здравым смыслом: при переливании из узкого сосуда в широкий уровень воды падает; из широкого в узкий - растёт. Если ответ противоречит этой логике - ищи ошибку.

Проверь себя0 из 4

1.По какой формуле находится объём прямой призмы?

2.Сторону основания правильной шестиугольной призмы увеличили в

3

раза, высоту не меняли. Во сколько раз вырос объём?

3.В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами

3

4,

высота призмы

10 .

Чему равен объём?

4.У второй призмы сторона основания в

3

раза больше, а высота в

2

раза меньше, чем у первой (основания подобны). Во сколько раз объём второй призмы больше?