Преобразования числовых логарифмических… — ЕГЭ база

Преобразования числовых логарифмических выражений (Задание 16)

Задание 16 базового ЕГЭ по математике проверяет умение работать с выражениями. Одна из самых частых тем здесь - логарифмы. На первый взгляд они кажутся сложными и непонятными, но на самом деле логарифм - это просто иная запись степени. В базовом ЕГЭ не нужно решать зубодробительные логарифмические неравенства, достаточно понимать определение и знать несколько основных свойств.

Суть темы / Определение

Логарифм - это ответ на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание $a,$ чтобы получить число $b ?$ »

ВАЖНОЕ

Определение логарифма

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

где $a$ - основание логарифма, $b$ - аргумент логарифма.

Например:

$lo g_{2} 16 = 4,$ потому что $2^{4} = 16 .$
$lo g_{5} 25 = 2,$ потому что $5^{2} = 25 .$
$lo g_{3} 1 = 0,$ потому что $3^{0} = 1 .$

Основные формулы

Все эти формулы есть в справочных материалах, которые выдадут на экзамене. Главное - уметь ими пользоваться.

ВАЖНОЕ

Табличные значения

Логарифм от самого основания всегда равен единице, а логарифм от единицы - нулю:

lo g_{a} a = 1, lo g_{a} 1 = 0

Первое - потому что $a^{1} = a .$ Второе - потому что $a^{0} = 1$ для любого допустимого $a .$

ВАЖНОЕ

Основное логарифмическое тождество

a^{l o g_{a} b} = b

Если число возводится в степень логарифма с таким же основанием, они «уничтожают» друг друга, и остаётся только аргумент.

ВАЖНОЕ

Сложение и вычитание логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковым основанием превращается в логарифм произведения:

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x \cdot y)

Разность логарифмов с одинаковым основанием превращается в логарифм частного:

lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} (\frac{x}{y})

ВАЖНОЕ

Свойства степеней внутри логарифма

Степень аргумента выносится вперёд как умножение:

lo g_{a} (b^{k}) = k \cdot lo g_{a} b

Степень основания выносится вперёд как деление (в знаменатель):

lo g_{a^{n}} b = \frac{1}{n} \cdot lo g_{a} b

ВАЖНОЕ

Переход к новому основанию

Любой логарифм можно переписать через дробь с одинаковым основанием сверху и снизу (удобно, если в условии основания разные):

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}

Частный случай через натуральный логарифм: $lo g_{a} b = \frac{ln b}{ln a} .$

✓СОВЕТ

Правило «рюкзака и ботинок»

Степень у аргумента $b$ - это рюкзак на спине. Его легко снять и поставить прямо перед собой: $k$ уходит вперёд как множитель.
Степень у основания $a$ - это тяжёлые ботинки. Чтобы их снять, нужно наклониться вниз: $n$ уходит в знаменатель дроби $\frac{1}{n} .$

Схема-мнемоника «рюкзак и ботинки» для двух правил выноса ст

Алгоритм решения

Чтобы успешно решить задачу с логарифмами из задания 16, действуй по шагам:

АЛГОРИТМ

Как преобразовывать логарифмы

1. Проверь основания. Если перед тобой сумма или разность логарифмов, убедись, что у них одинаковые основания (маленькие числа внизу).
2. Собери логарифмы вместе. Примени формулы сложения или вычитания. Обычно после умножения или деления аргументов получается красивое число.
3. Вычисли итоговый логарифм. Задай себе вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить то, что осталось в скобках?».
4. Убери лишние коэффициенты (если есть). Если логарифм находится в показателе степени, но перед ним стоит число (например, $2^{3 l o g_{2} 5}$ ), сначала закинь это число внутрь логарифма в виде степени аргумента.

Примеры

Разберём самые популярные сюжеты, которые встречаются в банке заданий ФИПИ.

ПРИМЕР 1

Сумма логарифмов

Найди значение выражения $lo g_{6} 12 + lo g_{6} 3 .$

ПРИМЕР 2

Разность логарифмов

Найди значение выражения $lo g_{3} 40, 5 - lo g_{3} 1, 5 .$

ПРИМЕР 3

Логарифм в показателе степени

Найди значение выражения $2^{4 l o g_{2} 3} .$

ПРИМЕР 4

Степень в основании логарифма

Найди значение выражения $lo g_{5} 125 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибочное сложение аргументов

Ошибка: Увидев выражение $lo g_{2} 5 + lo g_{2} 3,$ пишут $lo g_{2} 8 .$

Правильно: При сложении логарифмов аргументы умножаются, а не складываются. Верный результат: $lo g_{2} (5 \cdot 3) = lo g_{2} 15 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Игнорирование коэффициента при тождестве

Ошибка: Вычисляют $5^{2 l o g_{5} 3}$ как $3 \cdot 2 = 6 .$

Правильно: Сначала нужно занести коэффициент в степень аргумента: $5^{l o g_{5} 3^{2}} = 5^{l o g_{5} 9} .$ И только потом применять тождество. Верный ответ: $9 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Основание и аргумент должны быть положительны

Ошибка: Пишут $lo g_{2} (- 8) = - 3,$ рассуждая так: $(- 2)^{3} = - 8,$ значит «минус три подходит».

Правильно: В выражении $lo g_{a} b$ аргумент $b$ обязан быть строго положительным, а основание $a$ - положительным и не равным $1 .$ Поэтому $lo g_{2} (- 8)$ вообще не определён. На экзамене в задании 16 все числа подобраны корректно - если у тебя в середине решения появился логарифм от нуля или от отрицательного числа, значит, где-то допущена арифметическая ошибка.

Что запомнить

Логарифм - это показатель степени. Всегда спрашивай себя: «В какую степень возвести нижнее число, чтобы получить верхнее?».
Табличные равенства: $lo g_{a} a = 1$ и $lo g_{a} 1 = 0 .$ Если увидишь их - сразу подставляй числа.
Если логарифмы складываются, их аргументы нужно умножить.
Если логарифмы вычитаются, их аргументы нужно разделить.
Перед тем как применить основное тождество $a^{l o g_{a} b} = b,$ убедись, что перед логарифмом стоит только единица. Все другие числа закидывай в степень аргумента.
Ответ в первой части ЕГЭ всегда должен быть целым числом или конечной десятичной дробью. Если у тебя получился $lo g_{2} 7$ или корень - проверь вычисления, ты где-то свернул не туда.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 5-7 минут. Преобразования логарифмов считаются за минуту-две, если свойства под рукой.
Куда смотреть первым делом: на основания. Одинаковые - применяй сумму/разность; разные - ищи, как одно выразить через другое (степень, корень).
Проверка ответа: возведи основание в найденную степень - должно получиться то, что стояло под знаком логарифма. Если не сходится, ищи ошибку в арифметике (чаще всего - в умножении или делении аргументов).
Когда пропустить: если видишь нестандартную комбинацию (скажем, $lo g_{3} 7 + lo g_{5} 7$ с разными основаниями) - скорее всего, ты неправильно прочитал условие. Перепиши задание на черновик и перечитай.
Подсказка: все нужные формулы есть в официальных справочных материалах на экзамене - не трать время на их вспоминание, просто открой и применяй.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

lo g_{2} 32 ?

2.Чему равна сумма

lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9 ?

3.Чему равно

3^{2 l o g_{3} 5} ?

4.Чему равна разность

lo g_{2} 48 - lo g_{2} 3 ?