Преобразования числовых иррациональных… — ЕГЭ база

Преобразования числовых иррациональных выражений (Задание 16)

В задании 16 ЕГЭ-база проверяется умение работать со степенями, логарифмами, тригонометрией и корнями. В этом конспекте разберём иррациональные выражения - те, в которых встречаются квадратные корни.

Несмотря на название, такие задачи почти всегда решаются в одно-два действия. Главное - знать четыре свойства корней и уметь замечать формулу разности квадратов.

Суть темы

Цель любой такой задачи - избавиться от знака корня и получить целое число или простую десятичную дробь. Составители экзамена не требуют вычислять $11$ на черновике столбиком. Вместо этого они подбирают числа так, чтобы сработало одно из свойств корня или формула сокращённого умножения.

Типичные сюжеты в этом номере:

умножение или деление корней: $12 \cdot 3,$ $\frac{48}{3};$
вынесение множителя из-под корня: $50 = 52;$
умножение двух скобок "разность на сумму" (разность квадратов);
возведение корня с коэффициентом в квадрат: $(23)^{2} = 12 .$

Основные формулы

Тебе понадобятся четыре базовых свойства квадратного корня и одна формула сокращённого умножения.

ВАЖНОЕ

Корень из произведения и частного

a \cdot b = a \cdot b

\frac{a}{b} = \frac{a}{b} (при a ⩾ 0, b > 0)

Эти равенства работают в обе стороны. Слева направо - чтобы разбить большой корень на множители (например, $72 = 36 \cdot 2 = 62$ ). Справа налево - чтобы перемножить корни и увидеть, что из произведения извлекается целое ( $2 \cdot 8 = 16 = 4$ ).

ВАЖНОЕ

Квадрат корня и корень из квадрата

(a)^{2} = a (при a ⩾ 0)

a^{2} = a (при a ⩾ 0)

Эти два равенства фактически говорят одно и то же: корень и квадрат "уничтожают" друг друга. А ещё из них следует правило, которое чаще всего нужно в номере 16:

ВАЖНОЕ

Возведение в квадрат корня с коэффициентом

(c a)^{2} = c^{2} \cdot a

Например, $(23)^{2} = 4 \cdot 3 = 12,$ а $(52)^{2} = 25 \cdot 2 = 50 .$

Последняя формула - уже знакомая тебе из алгебры формула сокращённого умножения. Она превращает произведение двух скобок в простую разность.

ВАЖНОЕ

Разность квадратов

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Порядок слагаемых в итоговой разности всегда диктует скобка с минусом: что стояло в ней первым, то и возводится в квадрат первым.

Геометрическая иллюстрация формулы разности квадратов a^2 -

Алгоритм решения

Встретив выражение с корнями, действуй так:

АЛГОРИТМ

Алгоритм преобразования

1. Посмотри на форму выражения. Если это две скобки вида $(\dots - \dots) (\dots + \dots)$ - применяй разность квадратов. Если это произведение или частное корней - применяй $a \cdot b = ab$ или $\frac{a}{b} = \frac{a}{b} .$
2. Упрости подкоренные выражения. После объединения корней часто получается число, которое легко извлекается: $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ $64,$ $81,$ $100,$ $121,$ $144 .$
3. Возведи в квадрат аккуратно. Если перед корнем стоит число, возводи в квадрат и число, и корень: $(c a)^{2} = c^{2} \cdot a .$
4. Запиши ответ. Он должен получиться целым числом или конечной десятичной дробью. Если в ответе остался корень - вернись и проверь вычисления.

Примеры решения

Разберём три задачи: от самой простой до типичной экзаменационной.

ПРИМЕР 1

Произведение корней

Условие:
Найди значение выражения $20 \cdot 45 .$

Решение:

1. Объединяем корни по правилу $a \cdot b = a \cdot b :$

20 \cdot 45 = 20 \cdot 45

2. Считаем произведение под корнем:

20 \cdot 45 = 900

3. Извлекаем корень из полной степени:

900 = 30

Ответ: $30$

В следующем примере уже встречается классическая разность квадратов - самая частая форма задачи в номере 16.

ПРИМЕР 2

Разность квадратов с целым числом

Условие:
Найди значение выражения $(23 - 3) (23 + 3) .$

А теперь - самый "коварный" вариант, в котором перед корнем стоит множитель. Здесь нужно аккуратно возвести в квадрат всё выражение целиком.

ПРИМЕР 3

Разность квадратов с коэффициентом

Условие:
Найди значение выражения $(26 - 5) (26 + 5) .$

Частые ошибки

В этой теме школьники редко промахиваются в идее - чаще всего ошибки чисто вычислительные.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Корень из суммы - не сумма корней

Ошибка: Пишут $9 + 16 = 9 + 16 = 3 + 4 = 7 .$

Правильно: Свойство $a \cdot b = a \cdot b$ работает только для произведения и частного, но не для суммы или разности. На самом деле $9 + 16 = 25 = 5,$ а не $7 .$ В общем случае $a + b \neq = a + b .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря квадрата у коэффициента

Ошибка: При возведении в квадрат выражения вида $32$ возводят в квадрат только корень: $(32)^{2} = 3 \cdot 2 = 6 .$

Правильно: Квадрат относится ко всему выражению в скобках, тройку тоже нужно возвести в квадрат: $(32)^{2} = 3^{2} \cdot (2)^{2} = 9 \cdot 2 = 18 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в порядке слагаемых

Ошибка: В выражении $(3 - 10) (10 + 3)$ записывают по привычке $(10)^{2} - 3^{2} = 10 - 9 = 1 .$

Правильно: Порядок в итоговой разности $a^{2} - b^{2}$ диктует скобка с минусом. Во второй скобке (где плюс) слагаемые можно переставить: от перестановки слагаемых сумма не меняется. Смотрим на первую скобку $(3 - 10),$ значит $3^{2} - (10)^{2} = 9 - 10 = - 1 .$

Что запомнить

Корень из произведения = произведение корней, то же для частного. Но не для суммы: $a + b \neq = a + b .$
Корень в квадрате равен подкоренному числу: $(17)^{2} = 17 .$
Корень с коэффициентом возводится в квадрат по частям: $(c a)^{2} = c^{2} \cdot a .$
Две скобки с одинаковыми слагаемыми и разными знаками - это разность квадратов. Ориентируйся на скобку с минусом.
В ответе должно получиться целое число или простая десятичная дробь. Если остался корень - где-то допущена ошибка.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время выполнения: 3-5 минут (в общий тайминг задания 16 укладывается 7 минут).
Приоритет: Одна из самых надёжных задач в варианте. Решай сразу, как только увидишь корни.
Самопроверка: Если в ответе остался $\dots$ - ошибка гарантирована. В бланк ответов записывается только целое число или конечная десятичная дробь.
Если не получается: попробуй переписать все корни через произведение ( $50 = 52,$ $72 = 62$ ) - обычно после этого числа красиво сокращаются.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

8 \cdot 2 ?

2.Чему равно

(32)^{2} ?

3.Найди значение выражения

(29 - 5) (29 + 5) .

4.Верно ли, что

9 + 16 = 9 + 16 ?