Показательные уравнения — ЕГЭ база

Показательные уравнения (Задание 17)

Задание 17 базового ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения: показательные, логарифмические, квадратные или иррациональные. В этом конспекте разберём показательные уравнения - те, где неизвестная $x$ стоит в показателе степени.

Звучит страшно, но на самом деле их решение сводится к простому приёму: сделать так, чтобы слева и справа стояло одно и то же основание.

Суть темы

В выражении $a^{x}$ число $a$ называется основанием, а $x$ - показателем.

Главная цель любого показательного уравнения - привести левую и правую части к степени с одинаковым основанием. Как только основания совпали, их можно "убрать" и приравнять показатели.

ВАЖНОЕ

Основное правило показательных уравнений

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x)

(при a > 0, a \neq = 1)

Потяни ползунок a: график y = a^x всегда проходит через точку (0; 1) и растёт, если a > 1.

Чтобы уравнивать основания, нужно помнить базовые свойства степеней.

ВАЖНОЕ

Свойства степеней

1. Умножение степеней с одинаковым основанием (показатели складываются): $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
2. Возведение степени в степень (показатели перемножаются): $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$
3. Отрицательная степень переворачивает дробь: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
4. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени даёт единицу: $a^{0} = 1$

Алгоритм решения

Все показательные уравнения из базы решаются по одному сценарию.

АЛГОРИТМ

Как решить показательное уравнение

1. Определи общее основание. Посмотри на числа слева и справа. Какое маленькое число возводится в степень, чтобы получить их оба (например, для $9$ и $27$ общее основание - это $3$ ).
2. Примени свойства степеней. Сделай так, чтобы слева и справа стояло одно и то же основание в какой-то степени. Дроби превращай в отрицательные степени.
3. Приравняй показатели. Если $a^{лево} = a^{право},$ то $лево = право .$
4. Реши линейное уравнение. Найди $x$ из получившегося простого уравнения.
5. Сделай проверку. Подставь найденный $x$ в исходное уравнение - если обе части равны, ответ верен.

Примеры решения

Пойдём от самых простых конструкций к тем, где нужно применить пару свойств подряд.

ПРИМЕР 1

Простейшее уравнение

Найди корень уравнения $2^{x - 3} = 16 .$

Решение:

1. Слева основание $2 .$ Справа число $16 .$ Вспомним степени двойки: $2^{1} = 2,$ $2^{2} = 4,$ $2^{3} = 8,$ $2^{4} = 16 .$
2. Заменим $16$ на $2^{4} :$

2^{x - 3} = 2^{4}

3. Основания одинаковые, приравниваем показатели:

x - 3 = 4

4. Решаем линейное уравнение:

x = 4 + 3 = 7

Проверка: $2^{7 - 3} = 2^{4} = 16 .$ Верно.

График показательной функции y = 2^x в первой четверти с ося

Ответ: $7$

ПРИМЕР 2

Дробь в основании

Найди корень уравнения $(\frac{1}{3})^{x + 4} = 27 .$

ПРИМЕР 3

Произведение степеней

Найди корень уравнения $2^{3 x - 1} \cdot 2^{5 - 2 x} = 64 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Умножение степеней: складывать, а не перемножать

Ошибка: При умножении степеней перемножают показатели: $2^{x} \cdot 2^{3} = 2^{x \cdot 3} = 2^{3 x} .$

Правильно: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $2^{x} \cdot 2^{3} = 2^{x + 3} .$ Перемножение показателей происходит при возведении степени в степень: $(2^{x})^{3} = 2^{3 x} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря минуса при работе с дробями

Ошибка: Превращают $\frac{1}{2}$ в $2,$ но забывают поменять знак у показателя: $(\frac{1}{2})^{x - 4} = 2^{x - 4} .$

Правильно: $\frac{1}{2} = 2^{- 1},$ значит при переходе к основанию $2$ весь показатель умножается на $- 1 :$ $(\frac{1}{2})^{x - 4} = 2^{- (x - 4)} = 2^{- x + 4} = 2^{4 - x} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Основание

1

и отрицательное основание

Ошибка: Применяют правило $a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x)$ для любого $a .$

Правильно: Равенство показателей гарантировано только при $a > 0$ и $a \neq = 1 .$ Если $a = 1,$ то $1^{f (x)} = 1$ при любом $x .$ Отрицательные основания в показательных уравнениях базы не встречаются - степень там определена не для всех $x .$

Что запомнить

Главная цель - получить уравнение вида $a^{f (x)} = a^{g (x)}$ с одинаковым основанием.
Дробь $\frac{1}{a}$ сразу заменяй на $a^{- 1}$ и переноси знак "минус" на весь показатель.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при возведении степени в степень - перемножаются.
Единица представляется как $a^{0}$ для любого основания $a .$
Всегда подставляй найденный $x$ в исходное уравнение - это займёт 10 секунд, но гарантирует балл.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время на задачу: 5-7 минут.
Когда решать: в первом проходе, вместе с остальными уравнениями задания 17. Показательные обычно проще логарифмических и квадратных.
Самопроверка: устная подстановка ответа в условие. В показательных уравнениях чаще всего ошибаются в знаке (плюс вместо минуса).
Если застрял: проверь, что справа стоит число, разложимое на простые множители ( $32,$ $81,$ $125,$ $\frac{1}{64}$ ). Если нет - возможно, ошибка в условии или нужен другой метод.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен корень уравнения

2^{x - 3} = 16 ?

2.Как упростить произведение

2^{x} \cdot 2^{3} ?

3.Как записать

(\frac{1}{3})^{x + 4}

со степенью с основанием

3 ?

4.При каких

a

верно правило

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x) ?