Задание 17: Простейшие уравнения — ЕГЭ база

О задании

Задание 17 в ЕГЭ по математике базового уровня проверяет твоё умение решать простейшие уравнения. Это классическая алгебра из школьной программы, где от тебя требуется найти неизвестный $x .$

Все задачи здесь оцениваются в 1 балл, а ответом всегда будет целое число или конечная десятичная дробь. В этом задании не бывает сложных систем или уравнений, требующих громоздких замен и знания глубокой теории. Главное - аккуратность в вычислениях.

Какие темы встречаются

В банке заданий для номера 17 можно выделить четыре основные группы.

1. Многочлены: линейные, квадратные, кубические (около 40%)
Здесь нужно раскрыть скобки (часто по формулам сокращённого умножения), привести подобные слагаемые или извлечь корень. Если получается квадратное уравнение с двумя корнями, в условии обязательно скажут, какой из них записать в ответ (например, "впишите больший корень").
2. Показательные уравнения (около 35%)
Уравнения, где неизвестный $x$ прячется в показателе степени, например $2^{x - 1} = 8 .$
3. Логарифмические уравнения (около 15%)
Уравнения со значком $lo g .$ Обычно нужно применить одно свойство (сложение или вычитание логарифмов) и избавиться от них.
4. Иррациональные уравнения (около 10%)
Уравнения с квадратным корнем, например $3 x - 2 = 4 .$

Ключевые приёмы

Три из четырёх подтем решаются одним и тем же методом - "снять" внешнюю функцию и приравнять то, что под ней. Вот два главных правила, которые нужно знать наизусть.

ВАЖНОЕ

Сведение к одному основанию/логарифму

Если основания одинаковые ( $a > 0,$ $a \neq = 1$ ), то:

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x)

lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) = g (x)

ВАЖНОЕ

Избавление от квадратного корня

Если правая часть неотрицательна ( $c ⩾ 0$ ), то:

f (x) = c ⟺ f (x) = c^{2}

Для показательных уравнений часто нужны свойства степеней: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n},$ $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n},$ $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n},$ $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} .$ Для логарифмических - свойство суммы и разности: $lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b c),$ $lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} \frac{b}{c} .$

Общий алгоритм решения

Большинство простейших уравнений в базовом ЕГЭ решается методом "снятия слоёв". Твоя задача - сделать так, чтобы слева и справа стояла одинаковая математическая конструкция, которую потом можно будет просто отбросить.

АЛГОРИТМ

Алгоритм: как "раздеть" уравнение

1. Определи тип уравнения. Где находится $x ?$ Под корнем, в логарифме, в степени или в обычных скобках?
2. Уравняй левую и правую части.

Для показательных: сделай одинаковые основания степеней.
Для логарифмических: собери всё в один логарифм слева и один логарифм справа с одинаковым основанием.
Для иррациональных: уедини корень с одной стороны, а число - с другой.
3. Отбрось внешнюю функцию. Зачеркни одинаковые основания, логарифмы или возведи обе части в квадрат, чтобы убить корень.
4. Реши простое линейное уравнение. То, что останется после шага 3, обычно решается за пару простых действий (перенос иксов в одну сторону, чисел в другую).
5. Сделай проверку. Подставь найденный $x$ в самое первое изначальное уравнение.

Примеры решения

Рассмотрим самые популярные типы - показательное и логарифмическое уравнения.

ПРИМЕР 1

Показательное уравнение с разными основаниями

Найдите корень уравнения $4^{x + 1} = 32 .$

ПРИМЕР 2

Логарифмическое уравнение

Найдите корень уравнения $lo g_{3} (x + 2) = 2 .$

Частые ошибки

В этих уравнениях главное - не торопиться "сокращать" всё подряд.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильное отбрасывание оснований

Ошибка: В уравнении $5^{x} \cdot 5^{2} = 5^{7}$ ученик сразу зачёркивает пятёрки и пишет $x \cdot 2 = 7 .$

Правильно: Отбрасывать основания можно ТОЛЬКО когда слева стоит одно число в степени и справа одно число в степени. Сначала нужно применить свойства степеней: $5^{x + 2} = 5^{7},$ и только потом перейти к $x + 2 = 7 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли возвести в квадрат число без корня

Ошибка: При решении $2 x - 5 = 3$ зачёркивают корень и пишут $2 x - 5 = 3 .$

Правильно: Чтобы избавиться от квадратного корня, нужно возвести в квадрат ОБЕ части. Правая часть тоже возводится в квадрат! Верно будет так: $2 x - 5 = 3^{2} ⟹ 2 x - 5 = 9 .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 5-7 минут.
Приоритет: Это уравнение первой очереди. Решай его сразу, как только дойдёшь по порядку.
Самопроверка: Всегда подставляй свой ответ в исходное уравнение! Это занимает 15-20 секунд, но почти всегда ловит арифметическую ошибку. В уравнениях проверка - самый надёжный способ не потерять лёгкий балл.
Если застрял: Если забыл свойства логарифмов или степеней, загляни в справочные материалы, которые выдадут на экзамене. Там есть блок "Алгебра" со всеми нужными формулами.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен корень уравнения

2^{x - 1} = 8 ?

2.Уравнение

lo g_{5} (x - 1) = 2 .

Чему равен

x ?

3.Как правильно избавиться от корня в уравнении

3 x - 2 = 4 ?

4.При каком условии верно

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x) ?