Подбор комплекта или комбинации — ЕГЭ база

Подбор комплекта или комбинации (Задание 6)

Шестое задание базового ЕГЭ по математике часто сводится к одной задаче: собери набор предметов так, чтобы он закрывал все нужные позиции и укладывался в бюджет. Типичные сюжеты этой подтемы - собрать комплект школьных принадлежностей, подобрать мебель для кухни или купить билеты на несколько аттракционов. Главное оружие здесь - аккуратный перебор строк таблицы и арифметика на сложение.

Суть темы

Тебе дают таблицу с готовыми "предложениями": каждое предложение покрывает один или несколько нужных пунктов и имеет свою цену. Задача - выбрать такой набор строк таблицы, чтобы вместе они закрывали весь список нужных позиций и их суммарная стоимость укладывалась в ограничение.

Математически это проверка двух условий одновременно: покрытия всех пунктов (логическое "И") и бюджета (линейное неравенство на сумму).

ВАЖНОЕ

Правило комплекта (покрытие всех позиций)

Объединение выбранных предложений должно содержать каждый нужный пункт хотя бы один раз:

A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{k} = {все нужные позиции}

ВАЖНОЕ

Условие бюджета

Сумма цен выбранных предложений не должна превышать заданный лимит $S_{m a x} :$

C_{1} + C_{2} + \dots + C_{k} ⩽ S_{m a x}

Внимательно читай слова-маркеры в условии задачи:

"Не более", "не превышает" $⟹ ⩽$
"Менее", "дешевле", "меньше" $⟹ <$
"Не менее", "от" $⟹ ⩾$

Если в условии сказано "потратить менее $6000$ рублей", то ровно $6000$ уже не подходит. А "не более $6000$ " - подходит.

Алгоритм решения

Подбор комплекта - это не уравнение, а аккуратный перебор. Порядок работы помогает не запутаться и сэкономить время.

АЛГОРИТМ

Алгоритм подбора комплекта

1. Выпиши список нужных позиций. Слева на черновике перечисли всё, что надо закрыть: например, "стол, стулья, шкаф" или "А, Б, В, Г". Это твой чек-лист.
2. Найди "широкие" предложения. В таблице подчеркни строки, которые закрывают сразу 2-3 позиции. С них выгоднее начинать, потому что одна строка закрывает большой кусок чек-листа.
3. Собери комплект жадно. Возьми одно "широкое" предложение, вычеркни закрытые позиции из чек-листа. Оставшиеся позиции добирай другими строками - чаще самыми дешёвыми из подходящих.
4. Посчитай сумму. Сложи цены выбранных строк. Сравни с бюджетом: подходит или надо перебрать другой вариант.
5. Если надо, попробуй альтернативу. Если в первом наборе сумма превысила лимит, начни с другой "широкой" строки и повтори подбор.
6. Запиши ответ. Номера выбранных строк пиши подряд без пробелов и запятых: например, $145 .$ Порядок обычно не важен, но принято писать по возрастанию.

Примеры решения

Разберём три типичных сюжета подтемы: покупка одного подходящего предмета, сбор комплекта мебели и подбор билетов под бюджет.

ПРИМЕР 1

Школьный пенал под бюджет

Условие:
В школьном магазине продаётся шесть пеналов. В таблице указаны их размеры и цена.

Номер пенала	Длина (см)	Ширина (см)	Цена (руб.)
1	22	9	450
2	18	7	380
3	20	8	520
4	21	10	410
5	19	8	400
6	23	9	470

В ранец школьника помещается пенал, длина которого не превышает $22$ см, а ширина - не более $9$ см. Ученик хочет купить самый дешёвый из подходящих пеналов. Сколько рублей он заплатит?

ПРИМЕР 2

Комплект мебели для кухни

Условие:
Семья обустраивает кухню. Нужно купить комплект из четырёх предметов: стол, стулья, шкаф и тумбу. Мебельный магазин предлагает готовые наборы - каждый включает один или два предмета из списка.

Номер набора	Входит в набор	Стоимость (руб.)
1	Стол, стулья	$18000$
2	Шкаф	$12000$
3	Тумба, стулья	$9000$
4	Стол, шкаф	$22000$
5	Тумба	$5000$
6	Стулья, шкаф	$15000$

Какие наборы нужно купить, чтобы получить все четыре предмета и потратить не более $35000$ рублей?

В ответе укажите какой-нибудь один подходящий набор номеров без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Таблица мебельных наборов с итоговой суммой

ПРИМЕР 3

Билеты в парк развлечений

Условие:
Школьник хочет посетить в парке развлечений пять аттракционов: качели, батут, лабиринт, тир и горку. В кассе продаются билеты - каждый даёт право на один или два аттракциона. Сведения о билетах в таблице.

Номер билета	Входит в билет	Стоимость (руб.)
1	Качели, батут	$350$
2	Лабиринт	$200$
3	Тир, горка	$400$
4	Батут, лабиринт	$500$
5	Качели, тир	$450$
6	Горка	$250$

Какие билеты нужно купить, чтобы попасть на все пять аттракционов и потратить не более $1000$ рублей?

В ответе укажите какой-нибудь один подходящий набор номеров билетов без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли закрыть одну из позиций

Ошибка: Ученик выбирает дешёвый комплект, который укладывается в бюджет, но одна из нужных позиций остаётся не закрытой. Например, в примере 3 берёт билеты $1$ и $3$ за $750$ руб. и забывает про лабиринт.

Как правильно: Всегда выписывай слева список нужных позиций и вычёркивай их по мере выбора билетов. Перед записью ответа проверь - в чек-листе не должно остаться ни одной незачёркнутой позиции.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница "не более" и "менее"

Ошибка: В задаче сказано "затратить менее $6000$ рублей", ученик собирает набор ровно на $6000$ руб. и записывает его в ответ.

Как правильно:

"Менее", "дешевле" - строгое неравенство ( $<$ ). Ровно $6000$ уже не подходит, нужна сумма $5999$ и ниже.
"Не более", "не превышает" - нестрогое неравенство ( $⩽$ ). Пограничное значение $6000$ подходит.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Запись ответа с пробелами или запятыми

Ошибка: Ученик пишет в бланк " $1, 2, 3$ " или " $123$ ". Система проверки засчитает это как ошибку.

Как правильно: Пиши номера строк подряд, без пробелов и знаков препинания: $123 .$ Порядок обычно любой, но безопаснее писать по возрастанию.

Что запомнить

Начинай подбор с "широких" строк - тех, что закрывают сразу $2$ - $3$ позиции из чек-листа. Такие строки экономят и количество билетов, и деньги.
Суммарная цена - это простая сумма всех выбранных строк. Не забудь сложить, даже если кажется, что "точно подходит".
Чек-лист нужных позиций - твой главный инструмент. Пока хотя бы одна позиция в нём не вычеркнута, комплект не собран.
Если в условии просят "какой-нибудь один набор", достаточно найти один работающий вариант - не обязательно самый дешёвый.
Если же просят "наименьшую сумму", после нахождения первого варианта попробуй ещё одну комбинацию. Возможно, она будет дешевле.

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: Около $10$ - $11$ минут. Задача объёмная из-за большого количества текста, но математика простая.
Приоритет: Решай в основном блоке экзамена. Это уверенный $1$ балл, если не торопиться и аккуратно вести чек-лист.
Самопроверка: Перед записью ответа пройдись по условию ещё раз. Все нужные позиции закрыты? Сумма не превышает бюджет (и не равна ему, если в условии "менее")? Номера в ответе без пробелов?

Проверь себя0 из 4

1.В условии сказано «потратить менее

6000

рублей». Подходит ли комплект ровно за

6000

рублей?

2.С каких строк таблицы выгоднее начинать подбор комплекта?

3.Как записать в бланк ответ, если выбраны наборы

1,

2

5 ?

4.Комплект уложился в бюджет, но одна нужная позиция не закрыта. Что делать?