Площадь поверхности составного многогранника — ЕГЭ база

Площадь поверхности составного многогранника (Задание 11)

В задании 11 базового ЕГЭ по математике часто встречаются нестандартные фигуры: ящики без крышки, детали в форме лестницы или блоки со сквозными отверстиями. Такие фигуры называют составными многогранниками. Чтобы найти площадь их поверхности, не нужно учить десятки новых формул. Достаточно здравого смысла и понимания, из чего состоит деталь.

Суть темы

Площадь поверхности любого тела - это площадь всей его наружной «оболочки». Представь, что фигуру нужно полностью покрасить или обернуть подарочной бумагой. Количество этой бумаги и будет площадью поверхности.

Составные многогранники получаются, когда мы отрезаем кусок от простой фигуры (например, от прямоугольного параллелепипеда) или, наоборот, склеиваем две простые фигуры вместе.

Основные формулы и приёмы

Любой многогранник с прямыми углами состоит из прямоугольников. Поэтому главная формула здесь самая простая:

ВАЖНОЕ

Площадь грани

S = a \cdot b

где $a$ и $b$ - длины сторон прямоугольной грани. Для квадратной грани $S = a^{2} .$

Если фигура целая, мы просто складываем площади всех её сторон. У прямоугольного параллелепипеда $6$ граней, попарно равных друг другу:

ВАЖНОЕ

Площадь поверхности параллелепипеда

S = 2 \cdot (ab + b c + a c)

где $a,$ $b$ и $c$ - длина, ширина и высота фигуры.

Для детали со «ступенькой» (параллелепипед с вырезанным углом) удобно использовать формулу через силуэты. Посмотри на фигуру с трёх сторон: сверху, сбоку и спереди. Каждый из трёх силуэтов - прямоугольник со сторонами, равными габаритам исходного блока.

ВАЖНОЕ

Ступенька через три силуэта

S_{ступеньки} = 2 \cdot (ab + b c + a c)

где $a,$ $b,$ $c$ - габариты исходного (целого) блока: каждая пара граней «сверху+снизу», «слева+справа», «спереди+сзади» даёт одинаковый прямоугольник, даже если в углу вырезан кусок.

✓СОВЕТ

Метод «силуэтов» — где он работает, а где нет

Приём выше справедлив только если вырез — это угловая ступенька, которая не меняет ни один из шести силуэтов фигуры. Внутренние грани выреза «зеркалят» убранный кусок снаружи, и площадь остаётся прежней.

Если же вырез уходит в глубину (сквозное отверстие, глухой колодец в грани, сквозной паз) - силуэт меняется, и метод уже не работает. Там придётся считать наружные стены, «дырки» и внутренние стенки отдельно.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как найти площадь поверхности составной детали

1. Внимательно прочитай условие. Ищи слова-ловушки: «без одной грани», «сквозное отверстие», «ящик без крышки», «паз», «выемка».
2. Проверь, не меняет ли вырез силуэт фигуры. Если это угловая ступенька - работает формула целого параллелепипеда. Если туннель, колодец или паз - нет.
3. Выбери метод:

Коробка без одной грани - посчитай площадь целой и вычти эту грань (или сложи $5$ нужных граней).
Деталь со «ступенькой» (угловой вырез) - считай как целый параллелепипед по максимальным габаритам.
Сквозная дыра, колодец, паз - считай наружные стены, вычитай «входы в дыру» и прибавляй внутренние стенки.
4. Запиши вычисления пошагово. Не пытайся считать всё в уме, легко потерять одну грань.
5. Сложи результаты и запиши ответ.

Примеры решения

Разберём три задачи от простой к сложной: коробка без крышки, деталь-ступенька из демоверсии и блок со сквозным отверстием.

ПРИМЕР 1

Ящик для инструментов без крышки

Ящик для инструментов имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $40 \times 25 \times 20$ см и открыт сверху (нет верхней грани). Сколько квадратных сантиметров потребуется на окраску ящика снаружи?

Решение:

1. У целого параллелепипеда шесть граней. Здесь нет одной - верхней, размером $40 \times 25 .$
2. Найдём площадь целого параллелепипеда:

S_{целый} = 2 \cdot (40 \cdot 25 + 40 \cdot 20 + 25 \cdot 20) = 2 \cdot (1000 + 800 + 500) = 4600

3. Вычтем площадь отсутствующей верхней грани:

S = 4600 - 40 \cdot 25 = 4600 - 1000 = 3600

Ответ: $3600$

Теперь разберём классическую угловую полку - деталь-ступеньку.

ПРИМЕР 2

Угловая полка со ступенькой

Угловая полка имеет форму многогранника с прямыми двугранными углами. Габариты полки: длина $6,$ ширина $4,$ высота $5$ (в условных единицах). В верхнем углу вырезан кусок - ступенька размерами $3$ в длину и $2$ в высоту на всю ширину полки. Найди площадь поверхности полки.

И самый сложный случай - сквозное отверстие (дверной проём в стене). Здесь метод силуэтов не работает: проём делает новые внутренние грани, которых у целого блока не было.

ПРИМЕР 3

Стена с дверным проёмом

Из монолитного бетонного блока с габаритами $4 \times 5 \times 6$ сделан сквозной прямоугольный проём размером $2 \times 2,$ проходящий от передней грани до задней (длина проёма $6$ ). Найди площадь полной поверхности получившейся детали.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыть вычесть отсутствующую грань

Ошибка: В задаче про «ящик без одной грани» применяют формулу $S = 6 a^{2}$ или $S = 2 (ab + b c + a c)$ и считают площадь закрытой коробки.

Правильно: Внимательно читай текст. Если коробка открыта, граней $5 .$ Если это труба без двух крышек, квадратов остаётся вообще $4 .$ От площади целого блока всегда нужно отнимать площади отсутствующих граней.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Применить метод силуэтов там, где он не работает

Ошибка: Увидев слова «многогранник с прямыми углами», ученик сразу считает площадь как $2 (ab + b c + a c)$ по габаритам, даже если в детали есть сквозной проём или глухая выемка в середине грани.

Правильно: Формула ступеньки работает только для угловых вырезов, которые не меняют силуэты. Если есть сквозная дыра или колодец - считай наружные стены минус «входы» плюс внутренние стенки.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Дважды учесть место стыка при разбиении

Ошибка: Ученик визуально разбивает Г-образную деталь на два блока, считает площадь каждого по отдельности и складывает.

Правильно: Место склейки находится внутри детали - его не красят, значит, в площадь поверхности оно не входит. Если всё-таки разбиваешь фигуру, обязательно вычти удвоенную площадь стыка.

Что запомнить

Площадь поверхности - это сумма площадей всех видимых граней.
Для деталей со ступенькой на углу площадь поверхности равна площади целого параллелепипеда по максимальным габаритам: $S = 2 (ab + b c + a c) .$ Но перед применением всегда проверяй, не меняет ли вырез силуэты.
В задачах на сквозные отверстия и проёмы из площади большого блока вычитай «входы» и обязательно прибавляй внутренние стенки.
Внимательно читай про ящики и контейнеры: часто они без крышки, поэтому граней меньше, чем у целого параллелепипеда.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: $11$ минут.
Приоритет: задача базовая, но требует аккуратности. Решай её в блоке геометрии (номера 9-13) после простых планиметрий.
Чертёж: обязательно делай эскиз с подписанными рёбрами. Отдельно проверь по рисунку, какие грани видимы и нет ли «спрятанных» сзади/снизу.
Самопроверка: если условие - деталь-ступенька и ответ совпал с $2 (ab + b c + a c)$ по габаритам, ты, скорее всего, прав. Если есть проём - не забудь про внутренние стенки, это самая частая потеря.

Проверь себя0 из 4

1.У открытого сверху ящика в форме прямоугольного параллелепипеда сколько граней нужно покрасить снаружи?

2.Чему равна площадь поверхности целого прямоугольного параллелепипеда с рёбрами

4,

5

6 ?

3.В блоке сделан сквозной прямоугольный проём. Что нужно сделать с внутренними стенками проёма при подсчёте площади поверхности?

4.Ученик разбил Г-образную деталь на два параллелепипеда и сложил площади их поверхностей. Что он забыл?