Планиметрия — ЕГЭ база

Планиметрия в задании 21

В задании 21 ЕГЭ-база иногда встречаются планиметрические задачи: треугольник с заданной высотой, трапеция-участок, флаг треугольной формы, плитка на полу. Здесь не нужны тяжёлые теоремы — хватает трёх формул и внимательного чертежа. В этом конспекте разберём ключевые формулы, построение дополнительных линий и типовые сюжеты "на смекалку".

Ключевые формулы

Для планиметрических задач из двадцать первого номера чаще всего достаточно трёх формул. Их нужно знать наизусть.

ВАЖНОЕ

Теорема Пифагора

c^{2} = a^{2} + b^{2}

где $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, $c$ — гипотенуза.

ВАЖНОЕ

Площадь треугольника через высоту

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

где $a$ — сторона, $h_{a}$ — высота, опущенная на эту сторону.

ВАЖНОЕ

Площадь треугольника через две стороны и угол

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ

где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, $γ$ — угол между ними.

ВАЖНОЕ

Средняя линия трапеции

m = \frac{a + b}{2}

где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, $m$ — её средняя линия.

Полезный приём: дополнительные линии

Если задача кажется сложной — проведи дополнительную линию. Чаще всего это высота треугольника или перпендикуляр из вершины трапеции на большее основание. Он "отрезает" прямоугольный треугольник, где уже работает теорема Пифагора.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как подступиться к планиметрической задаче 21

1. Сделай чертёж. Даже если фигура кажется знакомой — рисуй. Подпиши все известные длины и углы прямо на рисунке.
2. Найди нужную фигуру. В задаче 21 часто спрятан прямоугольный треугольник: ищи перпендикуляры, диагонали, высоты.
3. Проведи дополнительную линию, если нужна. Высота из вершины трапеции или диагональ разрезают сложную фигуру на простые.
4. Выбери формулу. Если есть прямой угол — Пифагор. Если известны основание и высота — площадь через $\frac{1}{2} ah .$ Если две стороны и угол — через синус.
5. Проверь правдоподобие. Длина не может быть отрицательной, площадь треугольника не больше произведения двух сторон, средняя линия всегда между длинами оснований.

Разборы задач

Три сюжета от простого к посложнее: треугольный флаг, квадратная плитка, земельный участок-трапеция.

ПРИМЕР 1

Треугольный флаг

Условие:
Школьный флаг имеет форму прямоугольного треугольника. Один его катет равен $60$ см, а гипотенуза — $100$ см. Найди площадь флага в квадратных сантиметрах.

Решение:

1. Найдём второй катет по теореме Пифагора:

A C^{2} = 10 0^{2} - 6 0^{2} = 10000 - 3600 = 6400

A C = 80 см

2. Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов:

S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = \frac{4 800}{2} = 2400

Ответ: $2400$

ПРИМЕР 2

Треугольная плитка

Условие:
Подошва треугольной плитки — равнобедренный треугольник с боковой стороной $10$ см и углом при вершине $15 0^{\circ} .$ Найди площадь плитки в квадратных сантиметрах. Считай, что $sin 15 0^{\circ} = 0, 5 .$

Равнобедренный треугольник с тупым углом

ПРИМЕР 3

Земельный участок-трапеция

Условие:
Земельный участок имеет форму равнобокой трапеции. Параллельные стороны (верхняя и нижняя границы) равны $18$ м и $32$ м, а высота участка (расстояние между параллельными сторонами) равна $10$ м. Хозяин хочет провести вдоль средней линии участка дорожку. Найди сумму длины дорожки и площади участка, выраженной в квадратных метрах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли, что Пифагор работает только для прямого угла

Ошибка: Применить $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ к произвольному треугольнику, где угол между сторонами $a$ и $b$ не прямой.

Правильно: Теорема Пифагора справедлива только для прямоугольного треугольника. Перед применением убедись: есть ли в условии прямой угол или квадратик на чертеже. Если его нет — используй формулу площади через синус угла или проводи дополнительную высоту, чтобы выделить прямоугольный треугольник.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Спутали высоту со стороной треугольника

Ошибка: В формуле $S = \frac{1}{2} ah$ подставить в роли $h$ не высоту, а другую сторону треугольника.

Правильно: Высота — это перпендикуляр из вершины на противоположную сторону. Если дана сторона и другая сторона (не высота) — нужна формула через синус угла между ними. На чертеже высоту узнаёшь по квадратику-прямому углу у основания.

Что запомнить

1. Пифагор: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ — только для прямого угла.
2. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} ah$ (через высоту) или $S = \frac{1}{2} ab sin γ$ (через две стороны и угол).
3. Средняя линия трапеции: $m = \frac{a + b}{2},$ параллельна основаниям.
4. Площадь трапеции через среднюю линию: $S = m \cdot h .$
5. Если задача кажется сложной — проведи высоту или диагональ. Прямоугольный треугольник почти всегда прячется где-то рядом.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 10-15 минут.
Задание 21 — самое нестандартное в варианте. Сначала собери лёгкие баллы на других номерах, потом возвращайся.
Сразу рисуй чертёж. Даже простая трапеция становится понятной, когда на ней подписаны длины и высота.
Проводи дополнительные линии смело. Перпендикуляр из вершины трапеции, высота треугольника, диагональ — всё это часто превращает непонятную задачу в прямоугольный треугольник, где работает Пифагор.
Помни про ответ. На базе он всегда целый или простая десятичная дробь. Если получилась корявая дробь — ищи ошибку в чертеже или формуле.

Проверь себя0 из 4

1.У прямоугольного треугольника катет равен

60

см, а гипотенуза

100

см. Чему равен второй катет?

2.Основания трапеции равны

18

м и

32

м. Чему равна её средняя линия?

3.Две стороны треугольника равны

10

10,

угол между ними

15 0^{\circ},

sin 15 0^{\circ} = 0, 5 .

Чему равна площадь?

4.Для какого треугольника справедлива теорема Пифагора

c^{2} = a^{2} + b^{2} ?